Nierówność wariacyjna – pojęcie z pogranicza rachunku wariacyjnego i teorii zbiorów wypukłych. Najogólniejsza postać tego zagadnienia podana poniżej pochodzi od Stuarta Antmana.
Definicja formalna Dla danej przestrzeni Banacha oraz jej podzbioru i funkcjonału z do przestrzeni dualnej do przestrzeni nierównością wariacyjną jest problem rozwiązania względem zmiennej przebiegającej zbiór następującej nierówności:
gdzie jest dualnością wyrażającą się wzorem gdzie
Przykłady Minimum funkcji na przedziale Niech będzie funkcją gładką (tzn. różniczkowalną o ciągłej pochodnej), gdzie Jeśli chcemy znaleźć punkt w którym
Możliwe są wtedy trzy przypadki: i wtedy i wtedy i wtedy
Wszystkie one mogą być zapisane za pomocą nierówności wariacyjnej:
Rozwiązanie tej nierówności prowadzi do znalezienia minimum funkcji na przedziale.
Minimum funkcji na zbiorze wypukłym Niech będzie funkcją gładką określoną na domkniętym wypukłym podzbiorze Ponadto niech będzie takim punktem, że
Ponieważ zbiór jest wypukły, więc odcinek
leży w zbiorze i można rozpatrzeć funkcję gdzie
Osiąga ona minimum dla i dlatego z przykładu poprzedniego wynika, że
Zatem punkt spełnia nierównośćKinderlehrer, Stampacchia, op. cit., s. 10.:
Jeśli zbiór jest ograniczony, to istnienie takiego punktu wynika ze zwartości zbioru
Rozwiązanie tej nierówności prowadzi zatem do znalezienia minimum funkcji na zbiorze domkniętym wypukłym.
Badanie membrany Niech będzie obszarem o brzegu i niech gdzie będzie taką funkcją, że i
na
Niech
Zbiór jest wypukły i dla rozsądnie wybranych funkcji jest niepusty. Należy znaleźć taką funkcję dla której
Problem ten prowadzi do nierówności wariacyjnej
dla każdego
Przypisy
Kategoria:Rachunek wariacyjny Kategoria:Zbiory wypukłe