Zasada wyborów zależnych, DC (od ) – konsekwencja aksjomatu wyboru, która bywa często przyjmowana za dodatkowy aksjomat (istotnie słabszy od aksjomatu wyboru) do aksjomatyki Zermela-Fraenkla (ZF). Ściślej mówiąc, DC to zdanie: Niech X będzie zbiorem oraz niech R ⊆ X × X będzie taką relacją, że dla każdego x ∈ X istnieje takie y ∈ X, że (x, y) ∈ R. Wówczas istnieje taki ciąg (xn) elementów zbioru X, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi (xn, xn+1) ∈ R.
DC a ZF Zasada wyborów zależnych implikuje przeliczalny pewnik wyboru, to znaczy istnienie funkcji wyboru dla dowolnej przeliczalnej rodziny zbiorów niepustych. Dowód. Niech (Sn) będzie ciągiem zbiorów niepustych. Niech S oznacza sumę rozłączną rodziny (Sn), tj. zbiór par (x, n), gdzie x ∈ Sn, n – liczba naturalna. W zbiorze S można zdefiniować relację R ⊆ S × S poprzez warunek (x, n) R (y, m) wtedy i tylko wtedy, gdy m = n +1. Jeżeli (x, n) ∈ S, to (x, n) R (y, n + 1), gdzie y jest dowolnym elementem Sn+1, a więc można zastosować w stosunku do R zasadę wyborów zależnych. Oznacza to, że istnieje taki ciąg ((xn, Mn)) elementów S, że (xn, Mn) R (xn+1, Mn+1). Ponadto, stosując indukcję matematyczną można pokazać, że Mn = M + n dla każdej liczby naturalnej n i pewnej liczby M. W szczególności, xn ∈ Sn + M dla każdej liczby naturalnej n. Iloczyn kartezjański S1 × S1 × ... × SM jest niepusty; niech (y1, y2, ..., yM) będzie jego dowolnym elementem. Ostatecznie, funkcja f: {1, 2, 3, ... } → ∪n Sn dana wzorem f(n) = yn, gdy n ≤ M oraz f(n) = xM - n, gdy n > M jest funkcją wyboru dla rodziny (Sn). □ Zasada wyborów zależnych jest równoważna (na gruncie ZF) z twierdzeniem Baire’a dla przestrzeni metrycznych zupełnychC.E. Blair, The Baire category theorem implies the principle of dependent choices, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 25 (1977), no. 10, 933–934..
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Aksjomaty teorii mnogości