Iloczyn Blaschkego – funkcja analityczna ograniczona na otwartym kole jednostkowym. Funkcja ta jest skonstruowana w taki sposób, by posiadać ciąg (skończony lub nieskończony) liczb zespolonych wewnątrz koła jednostkowego.
Iloczyn Blaschkego jest powiązany z przestrzenią Hardy’ego. Po raz pierwszy został zaproponowany w 1915 roku przez Wilhelma BlaschkegoW. Blaschke, Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen Berichte Math.-Phys. Kl., Sächs. Gesell. der Wiss. Leipzig, 67 (1915) s. 194–200..
Definicja formalna Ciąg punktów wewnątrz koła jednostkowego spełnia warunki Blaschkego jeżeli
Wykorzystując taki ciąg, iloczyn Blaschkego jest zdefiniowany jako
gdzie współczynniki
o ile gdzie jest sprzężeniem zespolonym Gdy wtedy
Iloczyn Blaschkego definiuje funkcję analityczną na otwartym kole jednostkowym z zerami (pojedynczymi lub wielokrotnymi) Również należy do przestrzeni Hardy’ego Conway (1996) 274..
Ciąg spełniający powyższe warunki jest również zwany ciągiem Blaschkego.
Twierdzenie Szegő Zgodnie z twierdzeniem Gábor Szegő, jeżeli należy do (przestrzeń Hardy’ego z całkowalną normą), oraz jeżeli jest niezerowa, wtedy zera spełniają warunki Blaschkego.
Skończony iloczyn Blaschkego Skończony iloczyn Blaschkego może być określony (jako analityczna funkcja na kole jednostkowym) w następujący sposób: Niech będzie funkcją analityczną na otwartym kole jednostkowym taką, że może być uciąglona na otwartym na zamkniętym dysku
który mapuje jednostkowy okrąg w siebie samego. Wtedy jest równa skończonemu iloczynowi Blaschkego
gdzie leży na jednostkowym okręgu oraz jest wielokrotnością zera W szczególności, jeżeli spełnia powyższe warunki oraz nie posiada zer wewnątrz jednostkowego okręgu, wtedy jest stałą.
Przypisy
Bibliografia W. Blaschke, Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen, Berichte Math.-Phys. Kl., Sächs. Gesell. der Wiss. Leipzig, 67 (1915), s. 194–200.
Linki zewnętrzne
Kategoria:Analiza zespolona Kategoria:Funkcje matematyczne