thumb|250px|Nakrycie zbioru w otoczeniu można sobie wyobrażać jako rzutowanie duplikatów otoczenia zawartych w zbiorze na otoczenie Nakrycie (nakrycie rzutowe) – funkcja ciągła z przestrzeni topologicznej do przestrzeni topologicznej taka że każdy punkt w ma otoczenie otwarte równomiernie pokryte na skutek działania funkcji (precyzyjna definicja jest podana niżej).

Przestrzeń nazywa się przestrzenią nakrywającą.

Przestrzeń nazywa się przestrzenią bazową (bazą).

Nakrycia pełnią ważną rolę w teorii homotopii, analizie harmonicznej, geometrii Riemanna i topologii różniczkowej.

Definicja formalna nakrycia Nakrycie – ciągłe odwzorowanie , takie że dla każdego istnieje przestrzeń dyskretna oraz otoczenie o tej własności, że przeciwobraz otoczenia w odwzorowaniu , tj. , oraz są homeomorficzne. Nakrycie jest lokalnym homeomorfizmem.

W przypadku, gdy przestrzeń nie jest spójna, czasem zakłada się dodatkowo, że jest surjekcją.

Włóknem nad punktem nazywa się zbiór, który jest przeciwobrazem punktu dla odwzorowania tj.

Moc włókna nad punktem nazywa się krotnością nakrycia w punkcie Krotność jest funkcją lokalnie stałą. Gdy baza nakrycia jest przestrzenią spójną, krotność jest funkcją stałą, a nakrycie nazywane jest nakryciem n-krotnym.

Przykład Rozpatrzmy okrąg jednostkowy Odwzorowanie gdzie

jest nakryciem, w którym każdy punkt ma włókno nieskończone Artykuł o nakryciach w Encyklopedii matematycznej Springera.. Odwzorowanie jest nakryciem uniwersalnym, gdyż przestrzeń pokrywająca – zbiór liczb rzeczywistych – jest jednospójna.

Kategoria nakryć Niech będzie ustaloną przestrzenią topologiczną. Nakrycia tej przestrzeni tworzy kategorię , w której:

obiektami są nakrycia , morfizmami między nakryciami i są ciągłe odwzorowania o tej własności, że diagram

centruj|bezramki|194x194px jest przemienny.

Nakrycia uniwersalne Niech będzie przestrzenią łukowo spójną. Nakrycie nazywamy uniwersalnym, jeśli istnieją oraz takie, że dla dowolnego nakrycia i istnieje dokładnie jeden morfizm nakryć taki, że . Równoważnie, jeśli jest nakryciem jednospójnym oraz jest dowolnym innym nakryciem jednospójnym, to istnieje dokładnie jeden homeomorfizm taki, że diagram centruj|bezramki jest przemienny.

Przypisy

Kategoria:Topologia ogólna Kategoria:Teoria homotopii Kategoria:Topologia algebraiczna