Lemat Hensela – twierdzenie w teorii liczb sformułowane przez Kurta Hensela mówiące o istnieniu rozwiązań równania wielomianowego modulo , gdy znane są rozwiązania modulo .
Twierdzenie Niech będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech będzie liczbą pierwszą. Jeśli istnieje taka liczba całkowita , że
to istnieje nieskończony ciąg liczb całkowitych spełniający dla każdego warunki Ponadto jeśli ciąg również spełnia te warunki i , to dla każdego .
Zastosowania
Reszty kwadratowe modulo Udowodnimy, że dla liczby pierwszej oraz niepodzielnego przez kongruencja ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy jest resztą kwadratową modulo , czyli kongruencja ma rozwiązanie.
Oczywiście z wynika natychmiast . Aby wykazać wynikanie w drugą stronę, posłużymy się lematem Hensela. Przyjmijmy . Niech będzie rozwiązaniem kongruencji . Z założenia wnioskujemy, że . Wówczas oraz . Zatem spełnione są założenia lematu Hensela.
Na mocy lematu Hensela istnieje taki ciąg , że . W szczególności jest rozwiązaniem kongruencji . To kończy dowód.
Liczby -adyczne Odpowiednio sformułowany lemat Hensela jest użytecznym narzędziem do rozwiązywania równań w ciałach -adycznych. Wówczas przedstawione wzory są analogiczne do metody Newtona przybliżonego rozwiązywania równań w liczbach rzeczywistych.
Przypisy
Linki zewnętrzne Hensel lemma , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-30].
H Kategoria:Twierdzenia arytmetyki modularnej