Algebra uniwersalna – dział matematyki zajmujący się badaniem ogólnych struktur algebraicznych, nazywany również w niektórych publikacjach algebrą ogólną. Algebra uniwersalna wraz z teorią kategorii stanowią matematyczne podstawy teorii specyfikacji algebraicznych. Podstawowym pojęciem algebry uniwersalnej jest pojęcie algebry (nazywanej często algebrą uniwersalną; wtedy cały dział nazywa się algebrą ogólną), zbioru A wyposażonego w pewien zbiór operacji n-arnych nazywany sygnaturą. Każda struktura algebraiczna (grupoid, półgrupa, grupa, pierścień, ciało itd.) jest pewną algebrą.
Algebra
Niech będzie rozłączną sumą zbiorów. Elementy zbioru nazywamy symbolami i interpretujemy jako symbole działań, przy czym są symbolami działań -argumentowych. Algebrą nazwiemy zbiór wraz z przyporządkowaniem każdemu symbolowi -argumentowego działania Bardzo często wygodnie jest utożsamiać symbole z działaniami
Algebrę można zdefiniować także w następujący sposób. Parę gdzie jest zbiorem, a nazywa się typem algebry. Parę nazywa się algebrą typu jeśli zbiory i są równoliczne i każdemu odpowiada taki, że Element nazywa się działaniem lub operacją -argumentową.
Przykłady algebr Półgrupa Algebrę w której a ponadto działanie jest łączne, tzn. dla każdych zachodzi
nazywa się półgrupą.
Grupa Algebrę w której działanie jest łączne, a ponadto dla każdego
nazywa się grupą.
Krata Krata to algebra w której a ponadto dla każdych 1. 2.3.4.
Podalgebra Podalgebrą algebry z działaniami nazywa się niepusty zbiór taki, że dla każdego działania obcięcie jest działaniem w
Kongruencje Relację równoważności w algebrze nazywa się kongruencją jeśli dla każdego i dla każdych
Algebra ilorazowa
Mając kongruencję w algebrze można skonstruować algebrę tego samego typu co Niech będzie zbiorem ilorazowym. Definiujemy oraz wzorem
dla -argumentowego działania z tak zdefiniowanymi działaniami zazywamy algebrą ilorazową. Działania są dobrze określone, tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów
Homomorfizm algebr Homomorfizmem algebr i ze zbiorem symboli nazywa się funkcję taką, że dla każdego i dla każdych
Zobacz też algebra
Przypisy
Bibliografia Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H.P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. . (monografia dostępna w sieci)
Linki zewnętrzne Elementy algebry uniwersalnej [dostęp 2023-06-01]. General algebra , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2025-10-22].