Ars Conjectandi (z łac. Sztuka przewidywania) – książka o kombinatoryce i matematycznym prawdopodobieństwie napisana przez Jakoba Bernoulliego i opublikowana w osiem lat po jego śmierci, w 1713, przez jego bratanka Niklausa Bernoulliego. Dzieło uważane jest za przełomowe, konsolidujące wiele kombinatorycznych tematów oraz zagadnień z teorii prawdopodobieństwa, jak na przykład pierwsza wersja prawa wielkich liczb. Stanowi podwaliny dla opisywanych zagadnień. Uznane zostało przez wielu historyków matematyki za kamień milowy nie tylko w prawdopodobieństwie, lecz w całej kombinatoryce. Praca ta miała wielki wpływ na ówczesnych i późniejszych matematyków, na przykład Abrahama de Moivre’a.
Bernoulli napisał dzieło między 1684 a 1689, bazując na pracach takich matematyków jak: Christiaan Huygens, Gerolamo Cardano, Pierre de Fermat i Blaise Pascal. Wprowadził podstawowe pojęcia kombinatoryczne, takie jak: teoria permutacji i kombinacji oraz problemy powiązane ze wzrostem, na przykład uzyskiwanie i własności tytułowych liczb Bernoulliego. Główne pojęcia z prawdopodobieństwa, takie jak wartość oczekiwana, stanowiły również znaczną część tego ważnego dzieła.
Tło thumb|200px|Christiaan Huygens opublikował pierwsze traktaty na temat prawdopodobieństwa W Europie pierwsze formalne definicje z zakresu prawdopodobieństwa stworzył w XVI w. Gerolamo Cardano, który zainteresował się tą gałęzią matematyki z uwagi na swoją skłonność do hazardu. Sformułował to, co obecnie nazywa się klasyczną definicją prawdopodobieństwa: jeśli zdarzenie losowe ma możliwych zdarzeń elementarnych i wybrane zostanie dowolne to prawdopodobieństwo, że zajdzie dowolne zdarzenie, które ma możliwych rozwiązań, wynosi Jednak rzeczywisty wpływ Cardana nie był duży, napisał bowiem jedynie jedną pracę związaną z zagadnieniem prawdopodobieństwa (w 1525), zatytułowaną Księga o grach losowych., która została wydana już po jego śmierci, w 1663.
1654 jest datą, którą historycy przyjmują za początek rozwoju nowoczesnej teorii prawdopodobieństwa. W tym roku dwaj najbardziej znani ówcześni matematycy Blaise Pascal i Pierre de Fermat rozpoczęli korespondencyjną dyskusję na ten temat. Sprowokował ją paryski hazardzista Antoine Gombaud, który wcześniej tego roku wysłał zapytania do Pascala i innych matematyków na temat praktycznych zastosowań niektórych z tych teorii. W szczególności poruszył problem sprawiedliwego podziału w dwuosobowej grze, w której nagroda musi być podzielona między graczy stosownie do uzyskanych wyników po jej zakończeniu. Owoce korespondencji między Pascalem a Fermatem zainteresowały innych matematyków. Jednym z nich był Christiaan Huygens, którego pojawił się w 1657 jako ostatni rozdział Vana Schootena. W 1665 pośmiertnie opublikowano wyniki Pascala na temat trójkąta nazwanego jego imieniem, ważnego pojęcia z kombinatoryki. Powoływał się on na ten trójkąt w swoim dziele Cechy trójkąta arytmetycznego., nazywając go „arytmetycznym”.
W 1662 w Paryżu anonimowo została wydana książka . Przypuszczalnymi autorami byli Antoine Arnauld i Pierre Nicole, dwaj wiodący przedstawiciele jansenizmu, którzy pracowali razem z Blaise’em Pascalem. Łaciński tytuł dzieła to i była to w tym czasie popularna książka o logice. składała się z czterech części. W ostatniej z nich opisano, jak radzić sobie z podejmowaniem decyzji w przypadku niepewności przez rozważanie analogii do gier hazardowych i jawnego wprowadzenia pojęcia mierzalnego prawdopodobieństwa.
W 1662 również w dziedzinie statystyki i stosowanego prawdopodobieństwa John Graunt opublikował , rozpoczynając taką dyscyplinę nauki jak demografia. W pracy tej znaleźć można między innymi: statystyczną estymację populacji Londynu, tablice śmiertelności, prawdopodobieństwo przeżycia w różnych grupach wiekowych, analizę różnych przyczyn śmierci ze wskazaniem na fakt, że roczna liczba samobójstw i wypadków jest stała, oraz poruszony został temat poziomu i stabilności stosunku płci. Przydatność i interpretacja tabel Graunta była dyskutowana w szeregu korespondencji między braćmi Ludwigiem i Christiaanem Huygensem w 1667, w której zdali sobie sprawę z różnicy między estymacją średniej i mediany. Christian nawet interpolował tabele śmiertelności Graunta gładką krzywą, tworząc pierwszy ciągły rozkład prawdopodobieństwa, lecz ich korespondencja nie była opublikowana. Następnie w 1671 Johan de Witt, późniejszy premier Holandii, opublikował podobny materiał w swej pracy Traktat o dożywotnich rentach., w której zastosował pojęcia statystyczne do określenia długości życia dla praktycznych celów politycznych. Był to dowód na to, że ta nowa gałąź matematyki miała znaczące zastosowanie praktyczne. Praca de Witta nie była szeroko rozpowszechniona poza Holandią, co może być skutkiem odsunięcia od władzy i zamordowania przez tłum w 1672. Oprócz praktycznego wkładu z tych dwóch prac wyłania się również po raz pierwszy pomysł, że prawdopodobieństwo może być przypisane do zdarzeń nieodwracalnych lub niepowtarzalnych, jak na przykład szansa śmierci w pewnym wieku, w przeciwieństwie do rzutu kostką lub monetą przez zliczanie częstości występowania uzyskanych wyników. Tak więc prawdopodobieństwo może być czymś więcej niż tylko kombinatoryką.
Rozwój Ars Conjectandi thumb|Portret Jakoba Bernoulliego w 1687 Bernoulli napisał w latach 1684–1689, co odnotowywał w swoim pamiętniku . Kiedy zaczynał pracę w 1684 w wieku 30 lat, będąc zaintrygowany problemami kombinatorycznymi i probabilistycznymi, Bernoulli nie znał jeszcze ani pracy Pascala o „trójkącie arytmetycznym”, ani pracy de Witta o zastosowaniach teorii prawdopodobieństwa. Nawet wystosował prośbę do swojego znajomego Gottfrieda Leibniza aby mu udostępnił kopię pracy de Witta, lecz on mu jej nie dostarczył. Jednak Leibniz zapewnił dostęp do prac Pascala i Huygensa, a zatem jest zbudowane w dużej mierze na ich podstawie. Oprócz tych prac Bernoulli z pewnością posiadał lub przynajmniej znał treść wtórnych źródeł , jak również Graunta, gdyż umieszczał wyraźne odniesienia do tych dwóch prac.
Postęp prac Bernoulliiego można prześledzić, wykorzystując . Dzięki jego „odkryciu” całą twórczą pracę można podzielić na trzy okresy różniące się celami i czasem. Pierwszy okres, lata 1684–1685, jest poświęcony studiowaniu problemów dotyczących gier losowych przedstawionych przez Christiaana Huygensa. W trakcie drugiego okresu (1685–1686) badania są rozszerzone na procesy, w których prawdopodobieństwo nie jest znane , ale może być określone . Ostatecznie w trzecim okresie (1687–1689), problem pomiaru prawdopodobieństwa zostaje rozwiązany.
Zanim Bernoulli opublikował swoje , wydał szereg traktatów związanych z prawdopodobieństwem: Parallelismus ratiocinii logici et algebraici, Bazylea, 1685. W czasopiśmie 1685 (26 VIII), s. 314 pojawiają się dwa problemy dotyczące prawdopodobieństwa wygranej każdego z dwóch graczy w grze w kości. Rozwiązania zostały opublikowane w Acta Eruditorum w maju 1690, s. 219–223 w artykule Quaestiones nonnullae de usuris, cum solutione Problematis de Sorte Alearum. Dodatkowo, również Leibniz opublikował swoje rozwiązanie w tym samym czasopiśmie na stronach 387–390. Theses logicae de conversione et oppositione enunciationum, publiczny wykład dostarczony do Bazylei, 12 lutego 1686. Twierdzenia XXXI do XL są powiązane z teorią prawdopodobieństwa. De Arte Combinatoria Oratio Inauguralis, 1692. Lettre à un amy sur les parties du jeu de paumeList do przyjaciela o setach w tenisie., opublikowany w Ars Conjectandi w 1713.
W latach 1703–1705 z Jakobem korespondował Leibniz, który dowiedział się o jego odkryciach z prawdopodobieństwa od jego brata Johanna. Leibniz przeprowadził przemyślaną krytykę prawa wielkich liczb Bernoulliego, lecz nie dostarczył mu prac de Witta na temat rent, na których tak Bernoulliemu zależało. Bernoulli chciał zapoznać się z pracą de Witta w celu wykazania, że kombinatoryka i teoria prawdopodobieństwa mogą mieć liczne rzeczywiste zastosowania we wszystkich aspektach życia społecznego i będą służyć jako rygorystyczna metoda logicznego rozumowania w przypadku niewystarczających dowodów na sprawach sądowych lub sądach moralnych. Wyrażał również nadzieję, że teoria prawdopodobieństwa może dostarczyć kompleksowe i spójnie metody rozumowania, gdzie zwykłe rozumowanie może być przytłoczone złożonością sytuacji. Z tego narodził się tytuł dzieła , połączenie pojęcia ze scholastyki, z którego Bernoulli zaczerpnął słownictwo i koncepcje wraz ze wskazaniem na kontynuację i uzupełnienie wcześniejszej .
Bernoulli zdefiniował „sztukę przewidywania” w rozdziale II części IV w słowami:
Rozwój książki został zakończony przez śmierć Bernoulliego w 1705, stąd książka jest merytorycznie niekompletna w porównaniu do oryginalnej wizji autora. Kłótnia z jego młodszym bratem Johannem, który był najbardziej kompetentną osobą mogącą dokończyć projekt Jacoba, uniemożliwiła zdobycie rękopisu przez Johanna. Dzieci Jacoba nie były matematykami i nie mogły się podjąć redakcji i publikacji rękopisu. Ostatecznie opublikowanie rękopisu udało się w 1713 jego bratankowi Niklausowi, 8 lat po śmierci Jacoba w 1705.
Zawartość thumb|Widok strony z przedstawiający wzór Bernoulliego na sumę potęg liczb całkowitych. Ostatnia linia podaje liczby nazwane jego imieniem Oryginalna praca Bernoulliego została wydana po łacinie i jest podzielona na cztery części. Obejmuje ona przede wszystkim jego teorie permutacji i kombinacji – standardowe podstawy dzisiejszej kombinatoryki. Omawia również motywację i zastosowanie ciągu liczb, które obecnie noszą jego imię, bardziej związanego z teorią liczb niż prawdopodobieństwem, i są jednym z jego ważniejszych osiągnięć.
Pierwsza część jest dogłębnym wyjaśnieniem De ratiociniis in aleae ludo Huygensa. W tej sekcji Bernoulli dostarcza rozwiązania na pięć problemów, które Huygens umieścił na końcu swojej pracy. W szczególności rozwinął koncepcję wartości oczekiwanej, czyli średniej ważonej po wszystkich możliwych wynikach zdarzenia. Huygens przedstawił następujący wzór:
W tym wzorze jest wartością oczekiwaną, są prawdopodobieństwami z jakimi są uzyskiwane wartości, a są osiągniętymi wartościami. Bernoulli unormował wartość oczekiwaną zakładając, że są prawdopodobieństwami z wszystkich rozłącznych wyników, czyli przyjmując, że Inną rozwiniętą kluczową teorią w tej części jest prawdopodobieństwo osiągnięcia założonej liczby sukcesów z wielu zdarzeń binarnych, obecnie nazwane próbą Bernoulliego, po uwzględnieniu, że sukces każdego zdarzenia jest taki sam. Bernoulli wykazał metodą indukcji matematycznej, że mając daną liczbę korzystnych wyników z każdego zdarzenia, liczbę wszystkich wyników w każdym zdarzeniu, żądaną liczbę udanych wyników oraz liczbę zdarzeń to prawdopodobieństwo uzyskania wynosi Zapis
przedstawia liczbę sposobów wyboru elementów ze zbioru odróżnialnych elementów bez powtórzeń.
Pierwsza część kończy się tym, co obecnie znane jest jako rozkład zero-jedynkowy.
Druga część rozszerza się na wyliczenia i systematyczne numerowanie obiektów. To właśnie w tej części zostały uszczegółowione dwa pojęcia permutacje i kombinacje, wprowadzone wcześniej dla celów teorii prawdopodobieństwa. Bernoulli podał pierwszy nieindukcyjny dowód wzoru dwumianowego, używając tez kombinatorycznych. Na marginesie omówiony został również bardziej odległy od kombinatoryki ogólny wzór na sumę potęg całkowitych. Wolne współczynniki z tego wzoru, które nazwano liczbami Bernoulliego, miały wpływ na późniejszą pracę Abrahama de Moivre’a oraz znalazły liczne zastosowania w teorii liczb.