Dziedzina ideałów głównych (PID, od ang. Principal Ideal Domain; polski skrót: DIG) – to pierścień ideałów głównych, który jest pierścieniem całkowitym.
Równoważna definicja Dziedzina ideałów głównych – pierścień komutatywny, będący dziedziną całkowitości, w której każdy ideał tej dziedziny jest główny.
Przykłady Dziedziną ideałów głównych, jest – przykładowo – każda z następujących struktur matematycznych: dowolne ciało — jego ideałami są wyłącznie: (ideał zerowy/ideał trywialny), oraz samo to ciało, czyli , pierścień liczb całkowitych, dowolny pierścień wielomianów jednej zmiennej , o współczynnikach pochodzących z ciała , (Prawdą jest także następujące zdanie odwrotne: Jeśli jest dziedziną ideałów głównych, to jest ciałem.) pierścień liczb całkowitych Gaussa, oznaczany , pierścień liczb całkowitych Eisensteina, oznaczany .
Przykłady dziedzin całkowitości, które nie są DIG Dziedzinami ideałów głównych nie są następujące:
pierścień — pierścień ten nie jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu (UFD), jako że: . Stąd, nie może on zostać uznany za DIG, ponieważ pierścienie DIG są także UFD. Ponadto, jest ideałem, który nie może zostać wygenerowany przez pojedynczy element. pierścień wszystkich wielomianów z całkowitymi współczynnikami. Pierścień ten nie jest DIG, ponieważ jest ideałem, którego nie da się wygenerować przez pojedynczy wielomian. pierścień wielomianów co najmniej dwóch zmiennych (tzn. żądamy także: ), o współczynnikach z pierścienia . Pierścień ten nie jest DIG, ponieważ nie jest ideałem głównym.
Przypisy
Bibliografia Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, , ; s.173, definicja 126 Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s.299
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-04]. Principal ideal ring , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05].
Kategoria:Rodzaje pierścieni