Redukcja wielomianu według modułu – dla ustalonych i ustalonego redukcją wielomianu według modułu nazywamy wielomian który można otrzymać z wielomianu poprzez zastąpienie każdego ze współczynników wielomianu jego resztą z dzielenia przez oraz zastąpienie działań i odpowiednio działaniami: i (dodawanie i mnożenie modulo m)Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, , s. 169, Definicja 121.Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów, s. 54, Definicja 9.2..
Redukcja według modułu równania o niewiadomych z pierścienia – równanie o niewiadomych z pierścienia gdzie jest redukcją wielomianu według modułu .
Jeżeli równanie ma rozwiązanie w pierścieniu to równanie ma rozwiązanie w pierścieniu Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, , s. 169, Twierdzenie 58.Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów, s. 54, Uwaga 5.9.. Jeżeli równanie nie ma rozwiązań w pierścieniu to równanie nie ma rozwiązań w pierścieniu Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, , s. 169, Wniosek..
Przykład Równanie nie ma rozwiązań w pierścieniu Aby to pokazać, wystarczy dokonać redukcji tego równania według modułu 8. Otrzymamy wtedy równanie gdzie wszystkie działania są działaniami modulo 8. Wszystkimi kwadratami w pierścieniu są liczby Zatem wszystkie możliwe wartości wyrażenia to Jednak żadna z tych liczb nie może być sumą modulo 8 kwadratów liczb modulo 8. Zatem redukcja danego równania według modułu 8 nie ma rozwiązania w pierścieniu a stąd wynika, że wyjściowe równanie nie ma rozwiązania w pierścieniu Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów, s. 55, Przykład (5).Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, , s. 169, Przykład 91..
Przypisy
Kategoria:Wielomiany