Wariancja – miara zmienności zmiennej losowej będąca wartością oczekiwaną kwadratu różnicy wartości zmiennej losowej X i jej wartości oczekiwanej. W statystyce opisowej obliczana jest jako średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od średniej.
Wariancja zmiennej losowej oznaczana jako lub zdefiniowana jest wzorem:
gdzie: jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej podanej w nawiasach kwadratowych, jest wartością oczekiwaną zmiennej
Innym, często prostszym, sposobem wyznaczania wariancji jest wzór:
Wariancja jest momentem centralnym drugiego rzędu zmiennej losowej.
Jeżeli ponadto oraz jest σ-ciałem zdarzeń, to wariancją warunkową nazywamy:
Statystyka opisowa Jako jedna z najpopularniejszych miar w statystyce opisowej służąca do opisu danego kompletnego zbioru danych, wariancja zdefiniowana jest dla zbioru obserwacji z cechą wzorem:
gdzie oznacza średnią wartość cechy, a liczebność zbioru.
Wyrażona jest w jednostkach miary badanej cechy podniesionych do kwadratu.
Dane pogrupowane W przypadku obliczania wariancji dla danych pogrupowanych w postaci szereg rozdzielczego punktowego, wykorzystuje się wzory:
gdzie oznacza liczbę klas szeregu punktowego, – liczebność i-tej klasy, a – liczebność całej zbiorowości (odpowiednik we wzorze powyżej).
W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego za wartość przyjmuje się środki poszczególnych przedziałów :
Ze względu na przyjęcie jako reprezentacji przedziałów wartości środkowych wariancja liczona według powyższego wzoru jest przybliżeniem wariancji dla danych kompletnych.
Estymatory Wariancja próby losowej o wartościach gdzie jest następująca:
Wariancję dla populacji można estymować za pomocą n-elementowej próby losowej. Estymator największej wiarygodności:
jest zgodnym, lecz obciążonym estymatorem wariancji (jest nieobciążony asymptotycznie). Innymi słowy, gdybyśmy z populacji losowali próbkę wielokrotnie i obliczali jego wyniki, to ich średnia nie byłaby równa wariancji w całej populacji. Po uwzględnieniu poprawki Bessela (tj. po zastąpieniu przez liczbę stopni swobody ) otrzymujemy zgodny i nieobciążony estymator, częściej wykorzystywany w praktyce:
W przypadku, gdy znamy dokładną wartość oczekiwaną w populacji, wówczas estymator
jest już nieobciążony i zgodny.
Własności wariancji Dla zmiennych losowych i dowolnych stałych zachodzą następujące własności:
1.
Dowód. Korzystając z własności wartości oczekiwanej (wartość oczekiwana stałej jest równa tej stałej), mamy:
2.
Dowód. Korzystamy z własności wartości oczekiwanej mówiącej o tym, że jeżeli zmienna losowa jest dodatnio określona prawie wszędzie to jej wartość oczekiwana jest dodatnia. Ponieważ zmienna losowa jest dodatnio określona, mamy:
3.
Dowód. Korzystając z definicji wariancji, a następnie z liniowości wartości oczekiwanej mamy:
4.
Dowód. Korzystamy z własności wartości oczekiwanej mówiącej o tym, że dla stałej i z liniowości:
5. w ogólnym przypadku; (gdzie to kowariancja)
Dowód. Sprawdzone zostanie tylko twierdzenie dla sumy, twierdzenie dla różnicy rozwiązuje się analogicznie. Czyli mamy:
Korzystając z liniowości wartości oczekiwanej i definicji kowariancji, mamy:
Z powyższego twierdzenia łatwo wysnuć wniosek, że jeżeli zmienne i są niezależne, zachodzi:
Pierwiastek kwadratowy z wariancji definiujemy jako odchylenie standardowe.
Pierwiastek z estymatora nieobciążonego wariancji jest często używany jako estymator odchylenia standardowego, jednak jest wówczas obciążony (zobacz odchylenie standardowe).
Zobacz też
poprawka Bessela analiza wariancji błąd średniokwadratowy kowariancja test dla wariancji wariancja fenotypowa współczynnik zmienności
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Krzysztof Kwiecień, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2025-10-27]: Statystyka: Wariancja całej populacji, 11 października 2018. Wariancja próby, 18 października 2018.
Kategoria:Miary zróżnicowania rozkładu Kategoria:Momenty centralne