Twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej – twierdzenie klasycznej analizy matematycznej mówiące o zerowaniu się pochodnej funkcji różniczkowalnej osiągającej maksimum lub minimum w punkcie wewnętrznym przedziału.
Definicja Ustalmy
Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie oraz lub to Agnieszka Niemczynowicz, Warunek konieczny istnienia ekstremum, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-07].:
Dowód Aby udowodnić to twierdzenie należy rozpatrzeć wartość granicy prawostronnej i lewostronnej ilorazu różnicowego. Funkcja z założenia jest różniczkowalna w punkcie więc granice jednostronne są sobie równe.
Dowód w przypadku, gdy = max
Ponieważ
więc
i korzystając z twierdzenia o zachowaniu słabej nierówności dla funkcji
Podobnie wykazujemy
Pochodne jednostronne są sobie równe. Ponieważ więc
Przypadku, gdy = min dowodzi się analogicznie.
Zastosowanie Twierdzenie o zerowaniu się pochodnej jest używane między innymi przy dowodzie twierdzenia Rolle’a.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Fermat theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-02-07].
Kategoria:Twierdzenia rachunku różniczkowego