Macierz antyhermitowska – macierz kwadratowa o elementach zespolonych w której elementy leżące symetrycznie względem głównej przekątnej są wzajemnie zminusowanym sprzężeniem:

Symbolicznie można to zapisać jako:

gdzie oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy.

Macierze antyhermitowskie można traktować jako zespolony odpowiednik rzeczywistych macierzy antysymetrycznych lub jako macierzowy odpowiednik liczb urojonych (wraz z zerem).

Macierze antyhermitowskie wymiaru tworzą algebrę Liego która generuje grupę Liego macierzy unitarnych.

Macierze antyhermitowskie o śladzie równym 0 wymiaru tworzą algebrę Liego która generuje grupę Liego specjalnych macierzy unitarnych (tj. macierzy unitarnych o wyznaczniku równym 1).

Pojęcie może zostać uogólnione na przekształcenia liniowe zespolonej przestrzeni wektorowej z normą półtoraliniową.

Przykłady

Macierze Pauliego mnożone przez jednostkę urojoną tj.

Twierdzenia Wartości własne macierzy antyhermitowskiej są zerami lub liczbami urojonymi. Macierze antyhermitowskie są macierzami normalnymi, stąd są one diagonalizowalne, a ich wektory własne dla różnych wartości własnych muszą być prostopadłe. Elementy głównej przekątnej macierzy antyhermitowskiej są zerami lub liczbami urojonymi. Jeżeli są macierzami antyhermitowskimi, to jest macierzą antyhermitowską dla wszystkich skalarów rzeczywistych. Jeżeli jest macierzą antyhermitowską, to zarówno macierze oraz są hermitowskie. Jeżeli jest macierzą antyhermitowską, to dla liczby parzystej macierz jest hermitowska, a dla liczby nieparzystej macierz jest antyhermitowska.

Macierz jest hermitowska. Macierz jest antyhermitowska.

Wynika stąd, że: komutator macierzy hermitowskiej jest macierzą antyhermitowską, tj.

dowolną (kwadratową) macierz można jednoznacznie zapisać jako sumę macierzy hermitowskiej i macierzy antyhermitowskiej

Jeżeli macierz jest antyhermitowska, to jest macierzą unitarną (por. eksponenta macierzy). Przestrzeń macierzy antyhermitowskich wymiaru tworzy algebrę Liego grupy macierzy unitarnych Przestrzeń macierzy antyhermitowskich wymiaru bezśladowych (tj. o śladzie równym 0) tworzy algebrę Liego specjalnej grupy macierzy unitarnych

Ogólna postać macierzy antyhermitowskiej. Algebry Liego Macierze antyhermitowskie wymiaru mają na przekątnej liczby urojone lub zera, a wyrazy poza przekątną są w ogólności zespolone i takie, że wyrazy leżące symetrycznie względem przekątnej są postaci oraz gdzie – liczba sprzężona do liczby

Macierze hermitowskie wymiaru mają więc ogólną postać

gdzie: – jednostka urojona, – sprzężenia zespolone liczb

Macierze te zależą w ogólności od parametrów rzeczywistych i tworzą przestrzeń wektorową – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru zależą od parametrów (warunek daje jedno dodatkowe równanie, które pozwala obliczyć jeden z parametrów w zależności od pozostałych) i tworzą podprzestrzeń, która jest algebrą Liego Powyższe stwierdzenia omówimy na przykładach.

Macierze antyhermitowskie 2 × 2 – mają ogólną postać

Widać, że macierze te w ogólności zależą od 4 parametrów i tworzą przestrzeń wektorową 4-wymiarową.

Macierze bezśladowe tworzą podprzestrzeń – wymiarową, która jest algebrą Liego su(2). Bazą tej przestrzeni są np. macierze Pauliego mnożone przez jednostkę urojoną

Macierze antyhermitowskie 3 × 3 – mają ogólną postać

Macierze te zależą w ogólności od parametrów rzeczywistych (3 liczby na przekątnej, 3 części rzeczywiste i 3 zespolone liczb ) i tworzą przestrzeń wektorową – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru zależą od parametrów i tworzą podprzestrzeń -wymiarową, która jest algebrą Liego su(3). Generatorami tej algebry są np. macierze Gell-Manna mnożone przez jednostkę urojoną

Zobacz też macierz hermitowska specjalna grupa unitarna SU(n)

Przypisy

Bibliografia

A