mały|List Goldbacha do Leonharda Eulera, w którym pada hipoteza
Hipoteza Goldbacha – problem teorii liczb, do dzisiaj nierozwiązany. Głosi on, że każda liczba parzysta, większa od 2, daje się zapisać w postaci sumy pewnych dwóch liczb pierwszych.
Hipoteza ta wciąż – po ponad 250 latach od momentu jej postawienia w matematyce – pozostaje nierozstrzygnięta. Znajduje się ona (wraz z – inną matematyczną hipotezą, także mówiącą w pewien sposób o ułożeniu liczb pierwszych względem siebie – tak zwaną: hipotezą Riemanna) na słynnej liście problemów Hilberta.
Historia sformułowania problemu O tym, że każda liczba parzysta składa się z jednej, dwóch lub trzech liczb pierwszych, wspomniał już Kartezjuszhttp://arxiv.org/pdf/1501.05438.pdf.
W 1742 roku w liście do Leonharda Eulera, Christian Goldbach przedstawił hipotezę, że każda nieparzysta liczba naturalna większa niż 5 może być przedstawiona w postaci sumy trzech liczb pierwszych (ta sama liczba pierwsza może być użyta dwukrotnie).
Christian Goldbach – wedle konwencji dla definicji pojęcia liczby pierwszej, która to konwencja nie jest już obecnie stosowana – uznawał liczbę , za liczbę pierwszą. Wedle obecnej terminologii matematycznej, która za liczbę pierwszą, uznaje każdą liczbę, posiadającą dokładnie dwa (różne) dzielniki naturalne; zaliczenie liczby do liczb pierwszych, byłoby logicznie niepoprawne – jako że jedynym dzielnikiem naturalnym tej liczby, jest właśnie liczba .
Euler po otrzymaniu listu stwierdził, że sformułowanie hipotezy Goldbacha można uprościć i przedstawić ją w następujący sposób: każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych. Powyższą hipotezę, do dzisiaj nazywaną „hipotezą Goldbacha”, sformułował w rezultacie nie Goldbach, lecz Euler; jednak nazwa ta nie została od tego czasu zmieniona.
Próby rozwiązania
Dzięki użyciu komputerów udało się pokazać, że hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla liczb naturalnych mniejszych niż 4 · 1017 (przez przedstawienie każdej z tych liczb w postaci sumy dwóch liczb pierwszych). Co więcej, większość współczesnych matematyków przypuszcza, że jest ona – w istocie – najpewniej prawdziwa — ponieważ ze względu na stosunkowo gęsty rozkład liczb pierwszych wydaje się, że większe liczby parzyste coraz łatwiej jest przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych.
Pomimo licznych prób oraz wysokich nagród finansowych ufundowanych za jej udowodnienie lub obalenie, hipoteza Goldbacha pozostaje do dnia dzisiejszego nierozstrzygnięta. Do chwili obecnej udowodniono jedynie, że każda parzysta liczba naturalna większa niż 2, może zostać przedstawiona jako suma co najwyżej sześciu liczb pierwszych, a także, że każda parzysta liczba naturalna większa niż 2 może zostać przedstawiona jako suma liczby pierwszej oraz liczby, która ma co najwyżej dwa czynniki pierwsze (Chen w 1966). Wykazano, że zbiór liczb parzystych nie spełniających hipotezy Goldbacha ma gęstość 0 (tj. wraz ze wzrostem n odsetek liczb parzystych mniejszych od n, które nie spełniają hipotezy Goldbacha, dąży do 0).
Słaba hipoteza Goldbacha
Słaba hipoteza Goldbacha głosi, że każdą liczbę nieparzystą większą od 7 można wyrazić jako sumę trzech nieparzystych liczb pierwszych. Wiadomo, że ta hipoteza jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych większych od około 101346 (Liu Ming-Chit, Wang Tian-Ze w 2002).
Na podstawie swojej pracy z maja 2012http://arxiv.org/pdf/1205.5252v1.pdf, rok później peruwiański matematyk H. A. Helfgott w jednej z prac stwierdził, że udowodnił słabą hipotezę Goldbacha dla liczb nieparzystych mniejszych od 1030http://arxiv.org/pdf/1305.2897v1.pdf, a w drugiej, że dla liczb nieparzystych większych od tej granicyhttp://arxiv.org/pdf/1305.3062v1.pdf. Kolejne potwierdzające prace opublikował w grudniu 2013http://arxiv.org/pdf/1312.7748v1.pdf i styczniu 2015. W publikacjach tych wykazał on także, iż słaba hipoteza Goldbacha implikuje fakt, że wszystkie dostatecznie duże liczby parzyste można zapisać w postaci sumy co najwyżej czterech liczb pierwszych. Wszystkie prace ukazały się w arXiv. Za dowód słabej hipotezy Goldbacha Helfgott dostał matematyczną nagrodę Humboldt Professorship 2015.
Przypisy
Linki zewnętrzne
[dostęp 2022-07-02]. Goldbach problem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18]. Derek Muller, The Obviously True Theorem No One Can Prove , kanał „Veritasium” na YouTube, 20 czerwca 2025 [dostęp 2026-01-06]. Lettre XLIII , eulerarchive.maa.org – przedruk listu Goldbacha do Eulera z 7 czerwca 1742 roku. W tym liście Goldbach po raz pierwszy podaje swoją hipotezę.
G Kategoria:Otwarte problemy teorii liczb Kategoria:Problemy Hilberta