Trójka uporządkowana – zbiór zbudowany z obiektów tak, aby była określona kolejność tych elementów, oznaczany zazwyczaj symbolem Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, , s. 328: Trójka uporządkowana.Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek, Teoria mnogości, PWN, Warszawa 2015, , s. 6-8. Elementy trójki uporządkowanej nazywa się jej współrzędnymi. Przy powyższym zapisie, nazywa się pierwszą współrzędną, – drugą współrzędną, a – trzecią współrzędną.
Definicje formalne Za pomocą pary zagnieżdzonej Formalnie, przy pomocy pojęcia pary uporządkowanej, definiuje się trójkę uporządkowaną jako parę uporządkowaną Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, , s. 22.
Korzystając z definicji pary Kuratowskiego, trójka wyglądałaby wówczas tak:
Analogicznie można zdefiniować n-kę uporządkowaną, dla każdego Antoni Chronowski, Zadania z elementów teorii mnogości i logiki matematycznej, Wydawnictwo Dla Szkoły, Wilkowice 2004, , s. 32.
Minusem zagnieżdżeń par Kuratowskiego jest to. że w ostatecznej formule elementy dublują się (np. x występuje tam czterokrotnie więc przy podstawianiu konieczne będzie jego czterokrotne przepisanie), a ich liczba rośnie wykładniczo wraz .
Za pomocą zbioru par Można zdefiniować trójkę, numerując każdy element bezpośrednio, na podobnej zasadzie jak w parze Hausdorfa:
Należy zwrócić uwagę, że pary nie można zastąpić zwykłym zbiorem, ponieważ pojawiła by się niejednoznaczność, np. dla .
Korzystając z definicji pary Hausdorffa, trójka wyglądała by wówczas tak:
W takiej postaci, każdy element trójki występuje dokładnie jeden raz w ostatecznej formule.
Analogicznie można zdefiniować n-kę uporządkowaną, dla każdego :
Ta definicja bazuje na tej samej idei co definicja ciągu i jest prawidłowa również dla .
Własności i zastosowanie Można udowodnić twierdzenie stwierdzające, że .
Trójki uporządkowane stosowane są np. do zapisu współrzędnych punktów w przestrzeniach trójwymiarowychHelena Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, , s. 71.
Przypisy
Kategoria:Teoria mnogości