Twierdzenie Gleasona-Kahane-Żelazki – w teorii przemiennych algebr Banacha twierdzenie charakteryzujące funkcjonały liniowo-multiplikatywne na zespolonych, przemiennych algebrach Banacha z jedynką. Twierdzenie udowodnione niezależnie przez GleasonaA. M. Gleason, A characterization of maximal ideals, J. d’Anal. Math., 19 (1967), 171–172. oraz Kahane i ŻelazkęJ.-P. Kahane, W. Żelazko, A characterization of maximal ideals in commutative Banach algebras, Studia Math., 29 (1968) 339–343..
Wprowadzenie Niech będzie algebrą Banacha z jedynką Niech oznacza grupę elementów odwracalnych w oraz niech będzie niezerowym funkcjonałem liniowo-multiplikatywnym na Wówczas Rzeczywiście, Oznacza to, że jest skalarem równym swojemu kwadratowi, czyli lub Pierwszy przypadek jest jednak niemożliwy, ponieważ jest niezerowym funkcjonałem, a dla każdego skąd Dla każdego wartość jest niezerowa. Rzeczywiście,
Twierdzenie Gleasona-Kahane-Żelazki gwarantuje, że te dwie własności charakteryzują funkcjonały liniowo-multiplikatywne na zespolonych przemiennych algebrach Banacha z jedynką.
Twierdzenie Niech będzie zespoloną, przemienną algebrą Banacha z jedynką oraz niech będzie ograniczonym, niezerowym funkcjonałem liniowym. Wówczas jest multiplikatywny wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego
Innymi słowy jest multiplikatywny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wartość należy do tj. widma elementu
Przypisy
Bibliografia E. Kaniuth, A Course in Commutative Banach Algebras Grad. Texts in Math., vol. 246, Springer, New York (2009), s. 45.
Gleasona-Kahane-Żelazki Kategoria:Algebry Banacha