Operator Fredholma – w analizie funkcjonalnej, ograniczony operator liniowy pomiędzy dwiema przestrzeniami Banacha, którego jądro i kojądro są skończenie wymiarowe. Nazwa pojęcia pochodzi od Erika Ivara Fredholma, który rozważał takie operatory w teorii równań całkowych.
Twierdzenie Atkinsona Niech i będą przestrzeniami Banacha oraz niech będzie ograniczonym operatorem liniowym. Twierdzenie Atkinsona mówi, że jest operatorem Fredholma wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki operator że operatory
są zwarte.
Indeks Fredholma Dla danego operatora Fredholma definiuje się jego indeks Fredholma wzorem
czyli innymi słowy,
gdzie coker oznacza kojądro Indeks Fredholma jest zatem liczbą całkowitą.
Własności Z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym wynika, że obraz operatora Fredholma jest domknięty.
Rodzina złożona ze wszystkich operatorów Fredholma z do jest otwartym podzbiorem przestrzeni wszystkich operatorów z do Innymi słowy, dla każdego operatora Fredholma istnieje taka liczba że dla każdy operator ograniczony o tej własności, że jest również operatorem Fredholma, który ma ponadto ten sam indeks co .
Jeżeli i są operatorami Fredholma, to złożenie jest również operatorem Fredholma oraz .
Operator sprzężony do operatora Fredholma jest również operatorem Fredholma oraz . Takie same relacje zachodzą dla operatorów sprzężonych do operatorów Fredholma działających między przestrzeniami Hilberta.
Indeks Fredholma jest niezmienniczy ze względu na dodawanie operatorów zwartych, tzn. jeżeli jest operatorem Fredholma, a jest operatorem zwartym, to jest również operatorem Fredholma oraz Ogólniej, jeżeli jest operatorem Fredholma a jest operatorem ściśle singularnym, to jest również operatorem Fredholma oraz T. Kato, Perturbation theory for the nullity deficiency and other quantities of linear operators, „J. d’Analyse Math” 6 (1958), s. 273–322..
Przykład Niech będzie przestrzenią Hilberta z bazą ortonormalną indeksowaną liczbami naturalnymi z zerem. Niech będzie operatorem przesunięcia w prawo, tj.
Wówczas jest różnowartościowy, tj. wymiar jądra wynosi 0 ( jest ponadto izometryczny) oraz jego kojądro ma kowymiar 1, a więc jest operatorem Fredholma o indeksie Kolejne potęgi są operatorami Fredholma o indeksie Operatorem sprzężonym do jest operator przesunięcia w lewo:
Operator jest więc operatorem Fredholma o indeksie 1.
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Teoria operatorów na przestrzeniach Banacha