Poprawka Bonferroniego (spotyka się też nazwy procedura Dunn oraz poprawka Dunn–Bonferroniego) – procedura statystyczna służąca kontroli błędu I rodzaju w rodzinie (family-wise error rate, w skrócie FWER) w problemie porównań wielokrotnych, która polega na zastąpieniu zwykłego poziomu istotności bardziej rygorystycznym progiem dla każdego testu z osobna, tak aby prawdopodobieństwo popełnienia co najmniej jednego błędu pierwszego rodzaju w całej rodzinie testów nie przekraczało zadanego poziomu. Klasyczne zastosowanie tej idei do statystyki wielokrotnych porównań wiąże się z pracami Olive Jean Dunn z 1959 i 1961 roku, natomiast najczęściej stosowana nazwa metody odwołuje się do Carla Emilia Bonferroniego i nierówności Boole’a, zwanej również nierównością Bonferroniego.

Poprawka Bonferroniego jest jedną z najprostszych i najbardziej ogólnych metod kontroli FWER. Jej główną zaletą jest to, że nie wymaga założenia niezależności testów; ceną za tę ogólność jest zazwyczaj duża zachowawczość, a więc spadek mocy statystycznej przy większej liczbie porównań.

Motywacja W sytuacji, gdy wykonuje się wiele testów statystycznych równocześnie, także gdy wszystkie hipotezy zerowe są prawdziwe, rośnie prawdopodobieństwo uzyskania przynajmniej jednego wyniku fałszywie istotnego. Zjawisko to stanowi istotę problemu porównań wielokrotnych.

Jeżeli każdy z testów wykonuje się osobno na poziomie , to ryzyko błędu dla całej rodziny testów staje się większe niż . Poprawka Bonferroniego przeciwdziała temu przez obniżenie poziomu każdego testu do wartości .

Na przykład przy i każdy test należy przeprowadzić na poziomie

Oznacza to, że wynik z wartością byłby istotny bez korekty, ale nie po zastosowaniu poprawki Bonferroniego.

Definicja Załóżmy, że testuje się hipotez, a docelowy poziom błędu I rodzaju w rodzinie ma wynosić . Przy zastosowaniu poprawki Bonferroniego każdą hipotezę testuje się na poziomie

Hipotezę odrzuca się wtedy i tylko wtedy, gdy

Równoważnie można używać skorygowanych wartości p, danych wzorem .

Metodę stosuje się również do jednoczesnych przedziałów ufności. Aby uzyskać łączny poziom ufności co najmniej dla przedziałów, każdy z nich buduje się na poziomie co najmniej .

Wyprowadzenie Niech oznacza zdarzenie polegające na błędnym odrzuceniu -tej prawdziwej hipotezy zerowej. Wtedy

gdzie jest liczbą prawdziwych hipotez zerowych. Z nierówności Boole’a wynika, że

Jeżeli każdy test przeprowadza się na poziomie , to dla każdej prawdziwej hipotezy

Stąd

To właśnie stanowi podstawowe uzasadnienie poprawki Bonferroniego.

Własności Najważniejszą cechą poprawki Bonferroniego jest jej ogólność: kontrola FWER wynika z nierówności Boole’a i dlatego metoda nie wymaga niezależności testów. Dzięki temu jest ona bezpieczna w szerokiej klasie zastosowań, ale często bywa nadmiernie zachowawcza, zwłaszcza gdy liczba testów jest duża albo testy są silnie skorelowane.

W praktyce oznacza to, że poprawka zmniejsza liczbę wyników uznanych za istotne i może znacząco obniżać moc testów. Z tego powodu w bardziej złożonych analizach często zastępuje się ją procedurami krokowymi () albo metodami kontrolującymi inne kryteria błędu.

Przykład Jeżeli wykonuje się testów i chce się kontrolować FWER na poziomie , to próg istotności dla pojedynczego testu wynosi

Wartość byłaby zatem istotna bez korekty, ale nie po poprawce Bonferroniego. Skorygowana wartość p wynosiłaby w tym przypadku .

Zastosowania Poprawka Bonferroniego jest używana w sytuacjach, w których badacz ma skończoną, z góry określoną rodzinę testów i chce ograniczyć ryzyko choćby jednego fałszywego odrzucenia. Typowe zastosowania obejmują: kilka zaplanowanych porównań po analizie wariancji; zestawy wielu testów t; analizę kilku pierwszorzędowych punktów końcowych w badaniach biomedycznych; sytuacje, w których zależy na bardzo ostrożnej kontroli błędu I rodzaju.

W programach statystycznych metoda ta jest zwykle dostępna zarówno dla testów, jak i dla jednoczesnych przedziałów ufności.

Porównanie z innymi metodami Poprawka Šidáka Poprawka Šidáka używa progu

Dla tego samego poziomu FWER jest ona nieco mniej zachowawcza od poprawki Bonferroniego, ale klasyczna wersja wymaga silniejszych założeń dotyczących niezależności lub odpowiedniej struktury zależności testów. Poprawka Bonferroniego jest bardziej ogólna, lecz zwykle trochę słabsza pod względem mocy.

Procedura Holma–Bonferroniego Procedura Holma jest metodą krokową typu step-down. Kontroluje FWER dla dowolnej konfiguracji prawdziwych hipotez i jest jednostajnie mocniejsza od zwykłej poprawki Bonferroniego. W praktyce często jest preferowana, gdy celem nadal jest kontrola FWER, ale bez tak dużej utraty mocy.

Procedura Benjaminiego–Hochberga Procedura Benjaminiego–Hochberga nie kontroluje FWER, lecz współczynnik fałszywych odkryć (FDR). Dzięki temu bywa znacznie bardziej efektywna przy bardzo dużej liczbie testów, zwłaszcza w zastosowaniach eksploracyjnych, takich jak genomika czy analiza wysokowymiarowa. Nie jest to jednak metoda przeznaczona do tego samego celu inferencyjnego co klasyczna poprawka Bonferroniego.

Metody wyspecjalizowane W niektórych zadaniach istnieją procedury lepiej dopasowane do struktury problemu. Dla wszystkich porównań parami między średnimi często stosuje się test Tukeya, a przy porównywaniu kilku grup z jedną grupą kontrolną – test Dunnetta. Metody te zwykle wykorzystują więcej informacji o zadaniu i bywają mocniejsze od ogólnej poprawki Bonferroniego.

Ograniczenia Najczęściej wskazywaną wadą poprawki Bonferroniego jest jej nadmierna zachowawczość. Problem ten staje się szczególnie widoczny przy dużej liczbie hipotez, gdy próg staje się bardzo mały. W takich sytuacjach metoda może znacząco obniżać prawdopodobieństwo wykrycia rzeczywistych efektów.

Drugim ważnym zagadnieniem jest prawidłowe określenie rodziny testów. Korektę należy odnosić do zbioru testów, które z punktu widzenia pytania badawczego tworzą jedną całość inferencyjną, a nie do wszystkich możliwych analiz wykonywanych w projekcie bez rozróżnienia ich celu.

Zobacz też problem porównań wielokrotnych FWER poprawka Šidáka Metoda Holma-Bonferroniego procedura Benjaminiego-Hochberga test Tukeya test Dunnetta

Przypisy

Kategoria:Weryfikacja hipotez statystycznych Kategoria:Statystyka