Przestrzeń ściśle wypukła – przestrzeń unormowana o tej własności, że brzeg kuli jednostkowej (tj. sfera jednostkowa) tej przestrzeni nie zawiera odcinka, tj. każda prosta w przestrzeni ma co najwyżej dwa punkty wspólne ze sferą jednostkową.
Definicje równoważne Niech będzie przestrzenią Banacha. Wówczas następując warunki są równoważne: jest ściśle wypukła, jeżeli są elementami sfery jednostkowej przestrzeni to jeżeli są elementami sfery jednostkowej przestrzeni to dla wszelkich jeżeli i są niezerowymi elementami przestrzeni oraz to dla pewnej liczby .
Przykłady Przestrzeń c0 nie jest ściśle wypukła, gdyż dla jednak i nie są liniowo zależne. Ogólniej, jeżeli przestrzeń zwarta Hausdorffa ma co najmniej 2 punkty, to przestrzeń funkcji ciągłych nie jest ściśle wypukła. Dla przestrzeń ℓp (bądź ) jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy (W tym przypadku, z nierówności Hannera wynika, że są one jednostajnie wypukłe).
Przenormowania ściśle wypukłe Jeżeli jest przestrzenią ściśle wypukłą, a jest taką przestrzenią Banacha, że istnieje różnowartościowy, ograniczony operator liniowy to wzór określa normę równoważną w która jest ściśle wypukła. W konsekwencji, w każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha można wprowadzić normę równoważną, która jest ściśle wypukła, ponieważ istnieje operator różnowartościowy Day wykazał, że dla każdego zbioru nieprzeliczlnego przestrzeń wszystkich ograniczonych funkcji rzeczywistych na nie ma równoważnej normy ściśle wypukłej (nie ma takiej normy podprzestrzeń przestrzeni ) złożona z tych funkcji których co najwyżej przeliczalnie wiele współrzędnych jest niezerowychM. M. Day, Strict convexity and smoothness of normed spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 78, 516–528 (1955). W tej samej pracy, Day wykazał, że w istnieje równoważna norma ściśle wypukła. Amir i Lindenstrauss wykazali, że dla każdej przestrzeni typu WCG istnieje różnowartościowy, ograniczony operator liniowy dla pewnego zbioru D. Amir, J. Lindenstrauss, The structure of weakly compact sets in Banach spaces, Ann. of Math. 88 (1968), 35–64.. W konsekwencji w każdej przestrzeni typu WCG można wprowadzić równoważną normę ściśle wypukłą. Operator dany wzorem jest ograniczony i różnowartościowy, a zatem w przestrzeni można wprowadzić równoważną normę ściśle wypukłą. Bourgain udowodnił, że w przestrzeni ilorazowej nie ma ściśle wypukłej normy równoważnejJ. Bourgain, ℓ∞ / c0 has no equivalent strictly convex norm, Proc. Amer. Math. Soc. 78 (1980), 225–226..
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Przestrzenie Banacha