Kryterium porównawcze – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych. Mówi ono, że szereg liczbowy o wyrazach nieujemnych majoryzowany przez zbieżny szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny. Przez zasadę kontrapozycji, twierdzenie to jest równoważne temu, że szereg o wyrazach nieujemnych majoryzujący rozbieżny szereg o wyrazach nieujemnych jest rozbieżny.
Kryterium Niech
oraz
będą szeregami o wyrazach nieujemnych. Załóżmy, że istnieje takie że dla wszelkich zachodzi nierówność
Wówczas [dostęp 2025-07-15].: jeżeli szereg jest zbieżny, to szereg jest również zbieżny; jeżeli szereg jest rozbieżny, to szereg jest również rozbieżny.
Dowód Suma (tj. granica ciągu sum częściowych) szeregu o wyrazach nieujemnych zawsze istnieje – jest albo nieujemną liczbą rzeczywistą bądź wynosi Oznacza to, że stwierdzenia 1. i 2. są równoważne na mocy zasady kontrapozycji. Wystarczy zatem przeprowadzić dowód dla 1.
Załóżmy, że szereg jest zbieżny oraz niech będzie (skończoną) sumą . Skoro istnieje takie że dla wszelkich zachodzi nierówność
można założyć, że powyższa nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb naturalnych ponieważ skończenie wiele wyrazów szeregu liczbowego nie wpływa na jego zbieżność. W tym przypadku, dla każdej liczby naturalnej spełniona jest także nierówność
Oznacza to, że ciąg
jest ograniczony (przez ). Ciąg ten jest także niemalejący, istotnie
tj. dla wszystkich zachodzi
Każdy ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny, a więc szereg jest zbieżny, gdyż zbieżny jest jego ciąg sum częściowych.
Wersja graniczna Pod założeniem, jeżeli istnieje granica gdzie to gdy to ze zbieżności szeregu wynika zbieżność szeregu ; gdy to z rozbieżności szeregu wynika rozbieżność szeregu . W równoważnym sformułowaniu: gdy oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne; gdy to ze zbieżności szeregu wynika zbieżność szeregu ; gdy to z rozbieżności szeregu wynika rozbieżność szeregu .
Wersja ułamkowa Pod założeniem, jeżeli dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
ze zbieżności szeregu wynika zbieżność szeregu (a więc z rozbieżności szeregu wynika rozbieżność szeregu ).
Przykład zastosowania Niech tj. w tym przypadku szereg jest zbieżnym szeregiem geometrycznym. Niech
Szereg jest zbieżny, gdyż
tj. szereg jest majoryzowany przez zbieżny szereg geometryczny .
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Piotr Stachura, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-22]: Kryterium porównawcze zbieżności szeregów, 26 stycznia 2016. Kryterium porównawcze zbieżności szeregów – przykład, 16 kwietnia 2016. Kryterium porównawcze zbieżności szeregów w wersji granicznej, 5 lipca 2016. Kryterium porównawcze w wersji granicznej – przykład, 7 kwietnia 2017.
P