Twierdzenie Rosenthala o przestrzeniach zawierających ℓ1 – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że każdy ciąg ograniczony w przestrzeni Banacha zawiera podciąg, który jest słabym ciągiem Cauchy’ego bądź który jest równoważny z kanoniczną bazą przestrzeni ℓ1. Twierdzenie opublikowane w 1974 przez Haskella Rosenthala dla rzeczywistych przestrzeni BanachaH.P. Rosenthal, A characterization of Banach spaces containing ℓ1, Proc. Nat. Acad. Sci. (U.S.A.) 71 (1974), 2411–2413. oraz w 1975 przez Leonarda Dora dla przestrzeni zespolonychL.E. Dor, On sequences spanning a complex ℓ1 space, Proc. Amer. Math. Soc. 47 (1975), 515–516..
Omówienie pojęć występujących w wypowiedzi twierdzenia Słabe ciągi Cauchy’ego
Ciąg elementów przestrzeni Banacha nazywany jest słabym ciągiem Cauchy’ego gdy dla każdego funkcjonału istnieje granica .
Każdy ciąg zbieżny w słabej topologii jest słabym ciągiem Cauchy’ego, ale nie odwrotnie. W przestrzeni c0 ciąg
jest słabym ciągiem Cauchy’ego, gdyż dla każdego elementu zachodzi
gdy ciąg ten nie jest jednak słabo zbieżny.
Ciągi równoważne z bazą kanoniczną ℓ1
Dla każdego ograniczonego ciąg elementów przestrzeni Banacha, z nierówności trójkąta wynika, że dla każdego skończonego ciągu skalarów zachodzi
gdzie:
Ciąg jest równoważny z kanoniczną bazą przestrzeni gdy istnieje takie że dla każdego skończonego ciągu skalarów zachodzi także nierówność .
Baza kanoniczna
przestrzeni (ani żaden inny ciąg jej równoważny) nie jest słabym ciągiem Cauchy’ego ponieważ dla każdego ciągu który nie jest zbieżny ciąg
nie ma granicy.
Przypisy
Bibliografia
Rosenthala o przestrzeniach zawierających l1