thumb|400px|Przykład zastosowania reguły de l’Hospitala dla funkcji i funkcja jest nieokreślona w punkcie ale może zostać rozszerzona jako funkcja ciągła na cały zbiór , jeśli przyjmie się, że .
Reguła de l’Hospitala lub de l’HôpitalaZe względu na ewolucję pisowni francuskiej nazwisko „de l’Hospital” można również pisać „de l’Hôpital” bez (niemego) „s”, lecz z cyrkumfleksem nad „o”, co nie wpływa na wymowę – obie wersje wymawia się [dəlopi'tal]. – twierdzenie w analizie matematycznej, konkretniej analizie rzeczywistej i rachunku różniczkowym, umożliwiające obliczanie niektórych granic funkcji w sytuacjach, gdzie występują symbole nieoznaczone i . Twierdzenie to opisuje zarówno granice funkcji w punkcie, jak i w nieskończoności, a także zarówno granice właściwe – inaczej skończone – jak i niewłaściwe, czyli nieskończone.
Twierdzenie Podobne fakty Bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji można wykazać następujące twierdzenie: Jeżeli funkcje i są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt oraz
oraz istnieją (skończone) pochodne i przy czym wówczas
Jeśli dodatkowo i mają ciągłe pochodne w punkcie to:
Powyższe twierdzenie może być użyteczne w liczeniu granic wielu funkcji, np.
Często zdarza się jednak, że funkcje i nie są określone w punkcie jednak ich iloraz ma w tym punkcie granicę. Prawdziwe jest wówczas następujące twierdzenie, zwane regułą de l’Hospitala:
Wersja dla granic w punkcie Niech funkcje i będą określone w przedziale oraz
lub
oraz istnieją (skończone) pochodne i w przedziale przy czym dla
Wówczas, jeśli istnieje granica
to wtedy również
Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnych.
Wersja dla granic w nieskończoności Niech funkcje i będą określone w przedziale oraz
lub
oraz istnieją (skończone) pochodne i w przedziale przy czym dla
Wówczas, jeśli istnieje granica
to wtedy również
Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy .
Wersja dla funkcji różniczkowalnych wielokrotnie Jeżeli funkcje i są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt oraz w przedziale istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do włącznie funkcji i oraz dla
wówczas .
Historia mały|Guillaume François Antoine de l’Hospital (1661–1704)
Regułę tę opisał po raz pierwszy Johann Bernoulli, opublikował zaś jego uczeń Guillaume François Antoine de l’Hospital. W 1696 de l’Hospital wydał pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego L’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, w którym zawarto to twierdzenie. De l’Hospital nigdy nie twierdził, że jest autorem tego twierdzenia, niemniej jednak nazwa reguła de l’Hospitala jest powszechnie używana.
Nazwa reguła de l’Hospitala została użyta po raz pierwszy w 1905 roku, w podręczniku do analizy matematycznej autorstwa Édouarda Goursata Jeff Miller, L’Hospital’s rule [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (L) , MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2024-07-11].: „It is almost certain that l’Hôpital’s rule, for finding the limit of a rational function whose numerator and denominator tend to zero at a point, is so named because Goursat named the rule after de l’Hôpital in his Cours d’analyse mathématique. Certainly the rule appears in earlier texts (for example it appears in the work of Euler), but Goursat is the first to attach de l'Hôpital's name to it”.. Jest niemal pewne, że reguła znajdowania granicy funkcji wymiernej w punkcie, w którym licznik i mianownik zbiegają do zera, nazywa się tak, ponieważ Goursat nadał tej regule nazwisko de l’Hôpitala w swoim Cours d’analyse mathématique. Z pewnością reguła ta pojawia się we wcześniejszych tekstach (np. pracach Eulera), ale Goursat był pierwszym, który połączył ją z nazwiskiem de l’Hôpitala”: It is almost certain that l’Hôpital’s rule, for finding the limit of a rational function whose numerator and denominator tend to zero at a point, is so named because Goursat named the rule after de l’Hôpital in his Cours d’analyse mathématique. Certainly the rule appears in earlier texts (for example it appears in the work of Euler), but Goursat is the first to attach de l'Hôpital's name to it..
Zobacz też twierdzenie Stolza
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Reguła de l’Hospitala, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-28]. [dostęp 2022-06-20]. L'Hospital rule , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-08-06].
Kategoria:Twierdzenia rachunku różniczkowego Kategoria:Granice