najsłabszej topologii względem której elementy przestrzeni są ciągłe.
Przestrzeń można w naturalny sposób utożsamić z podprzestrzenią przestrzeni (przestrzeni sprzężonej do sprzężonej), przyporządkowując każdemu elementowi przestrzeni funkcjonał dany wzorem
Dla każdego tak określony funkcjonał jest elementem przestrzeni oraz odwzorowanie jest izometrią. Gdy odwzorowanie jest „na”, tj. to przestrzeń nazywa się przestrzenią refleksywną. Ponieważ jest automatycznie przestrzenią Banacha, więc każda przestrzeń refleksywna – również, jako przestrzeń liniowo izometryczna z przestrzenią Banacha.
Szeregi i bazy w przestrzeniach Banacha Przestrzenie Banacha można scharakteryzować poprzez zbieżność szeregów elementów przestrzeni. Mianowicie, przestrzeń unormowana jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy każdy szereg elementów tej przestrzeni normowo zbieżny jest zbieżny w tej przestrzeni. W przestrzeniach Banacha mogą istnieć szeregi zbieżne, które nie są normowo zbieżne – nazywa się, tak jak w przypadku szeregów liczbowych – szeregami warunkowo zbieżnymi.