W późniejszym czasie rodzina Vunipolów przeniosła się do Bristolu, gdzie matka rozpoczęła posługę jako pastor w miejscowym kościele metodystycznym. Sam Billy w wieku lat 11 trafił do Castle School w niedalekim Thornbury. Występował wówczas w juniorskiej drużynie Thornbury R.C., a w latach 2007–2008 w młodzieżowym zespole Bristol Rugby. Następnie uzyskał stypendium i rozpoczął naukę w elitarnej Harrow School na obrzeżach Londynu, gdzie kształcił się z zakresu fotografii, technologii projektowania, wychowania fizycznego i przedsiębiorczości. W tym czasie rodzina przeniosła się do High Wycombe, a Billy trafił do akademii London Wasps.
Kariera klubowa mały|240 px|Rozgrzewka przed meczem Saracens (2013): od lewej Vunipola, Jacques Burger i Schalk Brits W pierwszej drużynie London Wasps Vunipola zadebiutował jako 18-latek w styczniu 2011 roku. Wystąpił wówczas w meczu Anglo-Welsh Cup z , który wyjątkowo rozgrywany był w Abu Zabi. W swoim pierwszym sezonie w Premiership Rugby zaliczył zaledwie dwa występy (jeden w podstawowym składzie), jednak z czasem młody zawodnik stawał się coraz ważniejszym członkiem zespołu. W sezonie 2011/2012 rozegrał już osiem meczów, a w kolejnym aż 20.