Przykładem jest zbiór Vitalego.

Aby ustrzec się tego rodzaju problemów poszukiwano kryteriów, jakie powinny spełniać zbiory mierzalne (a więc takie, którym można przypisać miarę). Pierwotnie zakładano, że zbiory te powinny tworzyć rodziny zbiorów zamknięte na podstawowe operacje: przekrój, sumę oraz dopełnienie. Przy tym zakładano, że można wykonywać skończoną liczbę sumowań. Rodziny zbiorów spełniające powyższe wymogi nazywa się współcześnie ciałami zbiorów (lub algebrami zbiorów), a rozpatrywane na nich miary nazywa się miarami skończenie addytywnymi.

Prawdziwy przełom przyniosło rozszerzenie warunku zamkniętości rodziny zbiorów mierzalnych na przeliczalne (a nie tylko skończone) sumy zbiorów. Zbiory te nazwano σ-ciałami. W ten sposób uogólniono definicję miar do miar przeliczalnie addytywnych (nazywanych dziś po prostu miarami).

Nie jest to jedyne rozwiązanie. Np. zrezygnowanie z aksjomatu wyboru na rzecz aksjomatu determinacji powoduje, że wszystkie podzbiory zbioru liczb rzeczywistych stają się wtedy mierzalne (twierdzenie Mycielskiego–ŚwierczkowskiegoJan Mycielski, Stanisław Świerczkowski: On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. „Fundamenta Mathematicae”. 54 (1964), s. 67–71.).