Rozpatrując zbiór gdzie jest liczbą naturalną, z działaniem dodawania modulo (zob. arytmetyka modularna) okazuje się, że: jest działaniem dwuargumentowym na tzn. dla dowolnych jest dla dowolnych zachodzi liczba całkowita modulo spełnia dla wszystkich dla każdej liczby całkowitej modulo istnieje przeciwna do niej liczba całkowita modulo tzn. taka że
Niech oznacza niepusty zbiór, zaś jest zbiorem wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń zbioru na siebie. Rozważając składanie przekształceń z można zauważyć, że: jest działaniem dwuargumentowym na ponieważ jeśli są wzajemnie jednoznacznymi przekształceniami na siebie, to również; dla dowolnych zachodzi przekształcenie tożsamościowe spełnia dla wszystkich dla każdego istnieje odwrotne do niego przekształcenie tzn. takie że
Wszystkie powyższe przykłady opisują grupy; w każdym przypadku dany jest niepusty zbiór, na którym określono działanie dwuargumentowe o szczególnych własnościach – tak niżej zostaną zdefiniowane grupy.