Życie prywatne mały|James Tupper i Anne Heche (2014) Anne była najmłodsza z czworga dzieci Nancy Abigail Baker Heche (z domu Prickett; ur. 1937) i Donalda Josepha „Joe” Heche’a (1937–1983). Jej ojciec był organistą, kierownikiem chóru i fundatorem kościoła, a matka – psychoterapeutką, pisarką, profesorem i aktywistką. Jej ojciec był pochodzenia szwajcarskiego i norweskiego, a także miał korzenie niemieckie i angielskie. Jej matka miała pochodzenie angielskie, szkockie i walijskie. Miała starszego brata Nathana Bradlee (1965–1983) oraz dwie starsze siostry – Susan Claire (1957–2006) i Cynthię Anne (1961–1961, zm. w wieku dwóch miesięcy na raka mózgu). W latach 60. i 70. rodzina Heche należała do kościoła fundamentalistycznego i mieszkała w społeczności Amiszów.
Kiedy Heche miała 13 lat, jej ojciec zmarł na HIV/AIDS. Heche w 2001 na łamach magazynu „The Advocate” wyznała, że ojciec prowadził potajemne życie, był w związkach homoseksualnych i wielokrotnie gwałcił ją od dziecka do 12 roku życia, powodując opryszczkę narządów płciowych. Trzy miesiące po śmierci ojca, 18-letni brat Heche, Nathan, zginął w wypadku samochodowym. Oficjalne ustalenie było takie, że zasnął za kierownicą i uderzył w drzewo, chociaż Heche twierdziła, że było to samobójstwo.