13 sierpnia 2024 roku przedłużył kontrakt z klubem do czerwca 2028 roku. 16 września 2024 roku, w meczu przeciwko Randers FC, zanotował swoją pierwszą asystę w seniorskiej piłce, podając do Jeppe Tverskova przy bramce na 1:1. W sezonie 2024/2025 wywalczył miejsce w podstawowym składzie zespołu i stał się jednym z kluczowych zawodników drużyny w lidze duńskiej. Dobra forma sprawiła, że zaczął wzbudzać zainteresowanie klubów zagranicznych, w tym Como 1907, które według doniesień zaoferowało za niego 10 milionów euro, jednak oferta została odrzucona przez Nordsjælland.
W maju 2025 roku znalazł się w gronie stu zawodników nominowanych do nagrody Golden Boy.
RC Strasbourg 9 sierpnia 2025 roku Høgsberg został zawodnikiem RC Strasbourg, podpisując pięcioletni kontrakt obowiązujący do czerwca 2030 roku. Według doniesień medialnych kwota transferu wyniosła około 15 milionów euro. Transfer ten uczynił go najdrożej sprzedanym środkowym obrońcą w historii klubu występującego w duńskiej ekstraklasie.
Kariera reprezentacyjna Høgsberg reprezentował Danię U-17, dla której w latach 2022–2023 rozegrał 10 spotkań i zdobył jedną bramkę.