Pamiętając własność stycznej udowodnioną powyżej, łatwo otrzymujemy, że ( – duża półoś). Oprócz tego, bo są obrazami tego samego odcinka.
Zatem
więc
oraz
gdzie – odbicie w
Lewe części tych równości są równe, oraz, stąd
czyli
Ponieważ
to
Więc mamy a stąd wynika równość którą trzeba było udowodnić.
thumb|300px|Rys. 3 – trójkąt opisany
Trójkąt opisany Gdy punkty leżące wewnątrz trójkąta spełniają
to istnieje elipsa o ogniskach wpisana w trójkąt, czyli styczna do jego trzech boków (rys. 3). Wtedy zachodzi również Szczególnym przypadkiem takiej elipsy jest elipsa o ogniskach w ortocentrum i środku okręgu opisanego na trójkącie.
Dowód: Możemy tak dobrać dużą półoś elipsy, żeby była styczna do Z twierdzenia odwrotnego do powyższej własności o dwóch stycznych (które jest oczywistą konsekwencją tej własności) otrzymujemy, że jest ona styczna do pozostałych boków trójkąta, bo zachodzą równości odpowiednich kątów. Korzystając ponownie z własności stycznych, otrzymujemy równość
Dokonując rachunku na kątach, otrzymujemy powyższe równości dla ortocentrum i środka okręgu opisanego, z czego wynika, że istnieje elipsa wpisana w trójkąt o takich ogniskach.
thumb|300px|Rys. 4 – okrąg opisany