Wnioski Dowolny kąt wpisany oparty na półokręgu (czyli oparty na średnicy) jest kątem prostym, tzn. ma miarę 90°. Ten szczególny przypadek był już znany Talesowi. Dowolne dwa kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe, tzn. mają tę samą miarę.
Twierdzenia o innych kątach opartych na łuku Możliwe przypadki Jeśli wierzchołek kąta leży na zewnątrz okręgu, a oba jego ramiona mają punkty wspólne z tym okręgiem, to zachodzi jeden z trzech przypadków: Oba ramiona są siecznymi okręgu, tzn. zawierają pewne cięciwy tego okręgu. Wtedy kąt wycina z okręgu dwa łuki rozłączne. Jedno z ramion jest sieczną do okręgu, a drugie styczną. Wtedy kąt wycina z okręgu dwa łuki o jednym wspólnym końcu. Oba ramiona są styczne do okręgu. Wtedy kąt dzieli okrąg na dwa komplementarne łuki o wspólnych wierzchołkach.
We wszystkich powyższych przypadkach jeden z wyznaczonych łuków jest położony bliżej wierzchołka kąta, a drugi dalej. Ten pierwszy nazwijmy łukiem bliższym, a drugi łukiem dalszym.
Twierdzenie 1 Jeśli wierzchołek kąta leży na zewnątrz okręgu, a oba jego ramiona mają punkty wspólne z tym okręgiem, to miara tego kąta jest równa połowie różnicy między kątem środkowym opartym na łuku dalszym a kątem środkowym opartym na łuku bliższym.