Stosując współrzędne biegunowe:
do całek po kołach otrzymujemy nierówność
Odcałkowując, otrzymujemy oszacowanie:
Z twierdzenia o trzech funkcjach wynika zatem, że
Funkcja niecałkowalna Rozważmy całki oraz
Ze względu na antysymetrię całkowanej funkcji, łatwo możemy się przekonać, że Pokażemy, że a więc także
Do obliczenia całki
użyjemy podstawienia trygonometrycznego Tak więc oraz
Granice całkowania dają nam czyli a stąd Zatem
Przypomnijmy, że mamy następujące tożsamości trygonometryczne: oraz
Zatem
Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (ze względu na x):
Tak więc oraz
Zatem twierdzenie Fubiniego nie stosuje się do funkcji
Cóż jest tego powodem? Ponieważ jest to bardzo porządna funkcja, jedynym możliwym problemem jest to, że nie jest ona całkowalna (nawet nie w sensie Lebesgue’a). I rzeczywiście,
Zobacz też lemat Fatou twierdzenie Fichtenholza-Lichtensteina twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2022-06-20]. Fubini theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
Fubiniego Fubiniego