Inną tego rodzaju konstrukcją jest grupa z operatorami definiowana dla danego zbioru i grupy jako homomorfizm (zob. Niezmienniczość).. Ważnym wynikiem jest twierdzenie Cayleya mówiące, że elementy dowolnej grupy można utożsamiać z pewną podgrupą bijekcji danej grupy (grupy symetrycznej; wszystkie grupy można więc traktować jako grupy przekształceń). Przedstawienie grupy w postaci (wewnętrznego) iloczynu prostego dwóch jej podgrup można scharakteryzować za pomocą pary homomorfizmów wspomnianej grupy w siebie (mianowicie endomorfizmów ortogonalnych); homomorfizmy grupy w grupę wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów) innej grupyMają one postać dla grup pojawiają się m.in. w definicji zewnętrznego iloczynu półprostego (zob. iloczyny grup).
Definicja W dalszej części artykułu grupy zapisywane będą w notacji multiplikatywnej, o ile wprost nie zostanie zaznaczone inaczej. Niech będą grupami, w których działanie grupowe oznaczane będzie odpowiednio za pomocą zestawienia oraz kropkiZwyczajowo we wszystkich grupach działanie grupowe oznaczane jest w ten sam sposób (choć na danym zbiorze można określić zwykle wiele różnych grup), czyli przez zestawienie dla grup w notacji multiplikatywnej i za pomocą dodawania w notacji addytywnej;