jest przeliczalna i składa się ze zbiorów parami rozłącznych. Gdyby był zbiorem mierzalnym, to każdy ze zbiorów postaci byłby zbiorem mierzalnym oraz zbiory te byłyby tej samej miary (miara Lebesgue’a jest niezmiennicza na przesunięcia). Oznaczałoby to, że jest zbiorem mierzalnym oraz
ponieważ
nie może być więc miary zero, bo wówczas
nie może być również zbiorem miary dodatniej, bo wówczas
co w sumie prowadzi do sprzeczności.
Argument przedstawiony powyżej wykazuje, że jeśli przyjmiemy aksjomat wyboru, to na prostej istnieją zbiory niemierzalne w sensie Lebesgue’a, niemniej jednak zbiory takie w żadnym sensie nie są konstruowalne. Czasami używa się jednak zwrotu „konstrukcja zbioru Vitalego” w znaczeniu „definicja takich zbiorów”.
Zobacz też paradoks Banacha-Tarskiego zbiór Bernsteina
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Teoria miary Kategoria:Liczby rzeczywiste