W 1998 roku Acuña wyjechał do hiszpańskiego Realu Saragossa. W Primera División zadebiutował 31 sierpnia w przegranym 1:2 meczu z Celtą Vigo. Grając w Realu osiągnął szczyt formy i stał się jednym z czołowych zawodników w La Liga. W sezonie 1999/2000 poprowadził Saragossę do 4. miejsca w lidze, dzięki czemu w sezonie 2000/2001 wystąpił z tym klubem w Pucharze UEFA. Wtedy też wywalczył Puchar Hiszpanii, jednak kolejny rok był dla Realu nieudany, gdyż zespół zajął ostatnią 20. pozycję w lidze i spadł do Segunda División.
W 2002 roku po degradacji Realu Acuña przeszedł do Deportivo La Coruña. W Deportivo zadebiutował 26 października w wygranym 2:1 meczu z Rayo Vallecano. Jednak w Deportivo nigdy nie wywalczył miejsca w wyjściowej jedenastce na kontuzji a także konkurencji w składzie w osobach Mauro Silvy, Donato czy Aldo Duschera i w sezonie wystąpił zaledwie 7 meczach. Na sezon 2003/2004 Roberto został wypożyczony do drugoligowego Elche CF, a na kolejny do Al Ahli Dżudda z Arabii Saudyjskiej, gdzie rozegrał tylko 4 mecze i następnie wrócił do Deportivo.