Mianowicie rozważmy predykat:
wtedy na mocy aksjomatu wycinania istnieje zbiór , który, jak łatwo sprawdzić, spełnia warunek
a zatem .
W teorii Zermela-Fraenkla
Zakładając aksjomaty teorii ZF, aksjomat pary staje twierdzeniem wynikającym z aksjomatu zastępowania, który jest silniejszą wersją aksjomatu wycinania, oraz aksjomatu zbioru potęgowego, aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu ekstensjonalności.
Rozważmy dowolne zbiory , oraz formułę , w której jest zmienną związaną, daną przez
gdzie oznacza zbiór potęgowy zbioru pustego. Sprawdzamy, że formuła spełnia warunek
co wynika z faktu, że . Spełnione jest zatem założenie aksjomatu zastępowania, a więc
W powyższym, ustalamy i uzyskujemy
Zauważmy, że oznacza . Zatem formuła z prawej strony spełniona jest tylko, gdy albo . Stąd, uzyskujemy żądany zbiór taki, że
czyli innymi słowy . W powyższym dowodzie, aksjomat zbioru pustego i aksjomat zbioru potęgowego są nam potrzebne do skonstruowania dwóch różnych zbiorów, tj. oraz , a także zbioru, który zawiera tylko te dwa zbiory, czyli . Możliwa jest również konstrukcja korzystająca z aksjomatu nieskończoności.