Wersja I Zauważmy, że funkcja określona jest na zbiorze domkniętym i ograniczonym, co w jest jednoznaczne ze zwartością zbioru. Z założenia istnienia pochodnej cząstkowej dla każdego ciągu zachodzi zbieżność punktowa dla każdego punktu. Na mocy zwartości dziedziny funkcji mamy zatem zbieżność jednostajną, co pozwala nam napisać:
Co na mocy dowolności ciągu oraz definicji Heinego granicy funkcji daje tezę podstawową. Weźmy teraz ciągle różniczkowalne.
gdzie ostatnia równość zachodzi na mocy twierdzenia o wartości pośredniej dla całki z funkcji ciągłej Zatem biorąc granicę, i korzystając z podstawowej wersji twierdzenia mamy:
Przy czym z ciągłości f mamy
Wersja II Korzystając z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej dla dowolnego ciągu dążącego do zera, oraz stosując definicję Heinego granicy funkcji jak powyżej otrzymujemy:
Zobacz też podstawowe twierdzenie rachunku całkowego twierdzenie Fubiniego
Bibliografia
Kategoria:Gottfried Wilhelm Leibniz Kategoria:Rachunek różniczkowy i całkowy Leibniza (o różniczkowaniu pod znakiem całki)