Zauważmy jeszcze, że dla zachodzi dla dowolnego

Stąd i zbiór odwzorowań jest grupą, w której jest elementem neutralnym oraz

Określmy teraz odwzorowanie w następujący sposób: dla

Jest ono iniektywne, bowiem a z udowodnionej wcześniej własności wynika, że jest homomorfizmem, bo

Stąd jest zanurzeniem izomorficznym grupy w grupę q.e.d.

Zdefiniowany w dowodzie izomorfizm nazywa się niekiedy reprezentacją regularną Powyższe rozumowanie jest dowodem na to, że działanie grupy na sobie przez mnożenie z lewej strony jest wierne.

Historia Burnside przypisuje to twierdzenie Jordanowi, jednak Eric Nummela uważa, że nazwa twierdzenie Cayleya jest właściwsza. Dziś sens twierdzenia wydaje się oczywisty, jednak to dopiero Cayleyowi udało się zunifikować dwa różne – jak wówczas uważano – pojęcia, tzn. pojęcie grupy i pojęcie grupy permutacji. Mimo że sam Cayley w swojej pracy nie wykazał homomorfizmu, jego zasługi w upowszechnieniu tych pojęć na 16 lat przed Jordanem są niepodważalne.

Przypisy

Bibliografia A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.

Cayleya Kategoria:Podgrupy