Wśród tych osób są dwie osoby, które mają wśród zebranych tyle samo znajomych. Bardziej formalnie: w każdym grafie skończonym o co najmniej dwu węzłach istnieją dwa węzły o tym samym stopniu.Dla dowodu wystarczy zauważyć, że osób jest a każda z tych osób może mieć wśród zebranych najwyżej znajomych. Jeśli pomalujemy płaszczyznę w dowolny sposób na dwa kolory: biały i czarny, tzn. przypiszemy każdemu punktowi płaszczyzny jeden z tych dwu kolorów, to istnieje prostokąt, który ma wszystkie wierzchołki tego samego koloru. Bardziej formalnie: jeśli ustalimy na płaszczyźnie dowolny zbiór oraz jego dopełnienie to istnieje prostokąt, którego wszystkie wierzchołki należą do albo taki, którego wszystkie wierzchołki należą do Dla dowodu wystarczy skonstruować dowolny prostokąt o wymiarach 2×8, który rozpada się na 16 kwadratowych segmentów o wymiarach 1×1. Każdy punkt płaszczyzny, będący jednocześnie wierzchołkiem któregoś z tych kwadratów, nazwijmy punktem kratowym. Każda trójka punktów kratowych leżących na odcinku równoległym do krótszego boku prostokąta może być pomalowana na sposobów. Ponieważ takich trójek jest 9, więc któreś dwie trójki muszą być pomalowane w identyczny sposób. Wystarczy wybrać z jednej trójki dwa punkty kratowe o tym samym kolorze (na pewno takie istnieją) i odpowiadające im dwa punkty z drugiej trójki.