W 1999 roku Jurij przeszedł do lokalnego rywala Dynama, Spartaka Moskwa. Już w tym samym sezonie po raz pierwszy został mistrzem Rosji, a jesienią zadebiutował w rozgrywkach Ligi Mistrzów. Występował także w Pucharze UEFA. W 2000 i 2001 roku jeszcze dwukrotnie z rzędu wywalczył tytuł mistrzowski w Rosji. W 2002 roku zajął ze Spartakiem trzecie miejsce w Premier Lidze, a w 2003 zdobył swój drugi krajowy puchar. W 2004 roku występował w mniejszej liczbie meczów, a w 2005 stracił miejsce w składzie i cały sezon spędził grając w rezerwach Spartaka. Pod koniec roku odszedł z klubu, dla którego zagrał 199 razy i zdobył 7 goli.
W 2006 roku Kowtun został zawodnikiem Ałaniji Władykaukaz, grającej w Pierwszej Dywizji. W 2007 roku stracił miejsce w składzie tego klubu.
Sezon Klub Kraj Rozgrywki Mecze Bramki 1988 Łucz Azow
3. liga 16 1 1989 SKA Rostów nad Donem
2. liga 23 0 1990 SKA Rostów nad Donem
3. liga 38 0 1991 Rostsielmasz Rostów
2.