Po pewnym doświadczeniu amatorskim złożył podanie i otrzymał stypendium do słynnego Pasadena Playhouse.
Po raz pierwszy pojawił się na ekranie jako osoba chodząca po podłodze w komedii Williama Beaudine’a Niegrzeczni mężowie (Misbehaving Husbands, 1940) z Betty Blythe. W 1953 zadebiutował na Broadwayu w roli Arthura Turnera w komedii Och, mężczyźni! Och, kobiety!.
8 lutego 1960 otrzymał własną gwiazdę w Alei Gwiazd w Los Angeles znajdującą się przy 6821 Hollywood Boulevard.
W 1976 został zaangażowany jako aktor głosowy przez Aarona Spellinga, by użyczył głosu tajemniczemu milionerowi, Charliemu Townsendowi w serialu Aniołki Charliego. Jednak alkoholizm Younga uniemożliwił mu odegranie tej roli i w ostatniej chwili zastąpił go John Forsythe.
Życie prywatne Young był pięć razy żonaty. Jego pierwsze małżeństwo z Sheilą Stapler, koleżanką z Pasadena Playhouse, trwało siedem lat od 2 sierpnia 1940 i zakończyło się 18 sierpnia 1949. 29 grudnia 1950 poślubił Sophie Rosenstein, instruktorkę aktorstwa w Paramount Pictures, która była o kilka lat starsza od Younga. Wkrótce zdiagnozowano u niej nowotwór złośliwy i zmarła niecałe dwa lata po ślubie pary 11 listopada 1952. Przez pewien czas był zaręczony z aktorką Elaine Stritch. Young poznał aktorkę Elizabeth Montgomery na planie odcinka serialu Warner Brothers Presents – pt.