Własności mnożenia Macierz skalarna jest przemienna z dowolną inną macierzą kwadratową tego samego stopnia Można to zapisać komutatorem: gdzie jest kwadratową macierzą zerową. Innymi słowy: macierze skalarne są centrum algebry wszystkich macierzy ustalonego stopnia. Zachodzi też twierdzenie odwrotne: jeśli macierz kwadratowa jest przemienna ze wszystkimi macierzami kwadratowymi danego stopnia (należy do centrum algebry), to jest macierzą skalarną.
Niezerowe macierze skalarne można odwrócić, odwracając sam skalar.
Iloczyn (złożenie) dwóch macierzy skalarnych jest macierzą skalarną.
Macierze skalarne tworzą zbiór zamknięty ze względu na mnożenie, jest to działanie łączne i ma element neutralny (macierz jednostkowa). Dlatego macierze skalarne ustalonego stopnia tworzą tzw. monoid. Ponieważ mnożenie skalarów jest przemienne, jest to monoid przemienny. Niezerowe macierze skalarne też są zamknięte ze względu na mnożenie, zawierają identyczność (jedynkę) i są dodatkowo odwracalne, dlatego tworzą grupę przemienną. Odpowiednie monoidy i grupy są izomorficzne z monoidami i grupami skalarów danej przestrzeni liniowej.
Szczególnym przypadkiem mnożenia macierzy skalarnych jest ich potęgowanie. Odbywa się przez potęgowanie odpowiedniego skalara.