był delegatem apostolskim przy rządzie USA oraz stałym obserwatorem przy Organizacji Państw Amerykańskich, z tytułem nuncjusza ad personam. Po ustanowieniu pełnych stosunków dyplomatycznych między USA i Watykanem został 26 marca 1984 pronuncjuszem w USA. W kwietniu 1990 przeszedł na stanowisko proprefekta watykańskiej Kongregacji Edukacji Katolickiej.
Kardynał 28 czerwca 1991 Jan Paweł II mianował go kardynałem, nadając diakonię S. Maria Ausiliatrice in Via Tuscolana. Po nominacji kardynalskiej Laghi został pełnoprawnym prefektem Kongregacji Edukacji Katolickiej, objął również honorową funkcję wielkiego kanclerza Papieskiego Uniwersytetu Gregoriańskiego. Od maja 1993 nosił godność patrona Zakonu Maltańskiego, w którym miał rangę Baliwa Wielkiego Krzyża Honoru i Dewocji. Po osiągnięciu wieku emerytalnego został w listopadzie 1999 zwolniony z obowiązków prefekta Kongregacji.