27 października 1970 został mianowany arcybiskupem tytularnym Amantia i pronuncjuszem w Chinach (na Tajwanie). Sakry biskupiej udzielił mu 15 listopada 1970 kardynał Jean Villot, sekretarz stanu. Arcybiskup Cassidy pełnił następnie funkcje: pronuncjusza w Bangladeszu (styczeń 1973), delegata apostolskiego w Południowej Afryce i pronuncjusza w Lesotho (marzec 1979), pronuncjusza w Holandii (listopad 1984). W marcu 1988 przeszedł na stanowisko substytuta w Sekretariacie Stanu ds. ogólnych, w grudniu 1989 został mianowany przewodniczącym Papieskiej Rady do spraw Popierania Jedności Chrześcijan. Brał udział w wielu sesjach Światowego Synodu Biskupów w Watykanie, pełnił funkcję prezydenta-delegata sesji specjalnej poświęconej Kościołowi w Oceanii w listopadzie i grudniu 1998.
28 czerwca 1991 Jan Paweł II wyniósł go do godności kardynalskiej, nadając diakonię S. Maria in Via Lata. Kardynał Cassidy był m.in. specjalnym wysłannikiem papieża na uroczystościach rocznicowych 400-lecia Unii Brzeskiej na Ukrainie w maju 1996. Po osiągnięciu wieku emerytalnego, w marcu 2001 został zwolniony z obowiązków przewodniczącego Papieskiej Rady Promowania Jedności Chrześcijan (zastąpił go niemiecki kardynał Walter Kasper).