gdzie jest wektorem wodzącym punktu na rozmaitości. Wektory te definiują lokalną bazę, określona dla przestrzeni stycznej w punkcie rozmaitości (Odtąd będziemy skrótowo mówić „punkt ” zamiast „punkt o wektorze wodzącym ”. Zauważmy jednak, że wektor wodzący zależy od przyjętego początku układu współrzędnych, punkt zaś jest niezależnym od tego wyboru elementem rozmaitości). Dla każdego punktu rozmaitości da się określić lokalną, unikalną bazę.
Tensor metryczny Na podstawie wektorów bazy łatwo jest obliczyć tensor metryczny rozmaitości, licząc iloczyny skalarne
Tensor ten ma więc elementów. Jest to postać kowariantna (o dolnych indeksach) tensora. Postać kontrawariantną (o górnych indeksach) otrzymuje się jako macierz odwrotną z macierzy czyli:
Symbole Christoffela pierwszego rodzaju Symbole Christoffela pierwszego rodzaju można obliczyć, różniczkując elementy tensora metrycznego
Symbole Christoffela pierwszego rodzaju nie są tensorami, mimo że są zapisane w takiej samej notacji jak tensory. Symbole te zależą od elementów tensora metrycznego wybranego układu współrzędnych.