Wstawiając to z powrotem do równości , dostajemy: , czyli – przechodnio – dostajemy równość: . Ale to oznacza, że dzieli także , a zatem – skoro jest dowolną liczbą pierwszą – musi dzielić także . To z kolei przeczy założeniu, że liczby oraz są wobec siebie względnie pierwsze.
Uzyskaliśmy sprzeczność, która dowodzi, że nie może być liczbą wymierną, a zatem liczba ta musi być niewymierna. Tego należało dowieść. ∎ liczba — jej niewymierności – jako pierwszy – dowiódł Johann Heinrich Lambert w roku 1767; liczba — jej niewymierności – jako pierwszy – dowiódł Leonhard Euler w roku 1737; stała Gelfonda-Schneidera ;
stała Apéry’ego .
Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej
Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe, a rozwinięcie liczby wymiernej musi być albo skończone albo nieskończone okresowe. Korzystając z tej własności można podać wiele przykładów liczb, które są liczbami niewymiernymi. Np.., przy czym zakładamy, że w tym rozwinięciu dziesiętnym na pewno brak jest okresu (por. ułamek dziesiętny okresowy).