Pomysł znalezienia największego przedłużenia analitycznego funkcji doprowadził z kolei do rozwoju idei powierzchni Riemanna.
Przykład Szereg geometryczny Rozważmy funkcję
W klasycznym ujęciu przedstawia ona sumę szeregu geometrycznego o ilorazie Z warunku zbieżności szeregu geometrycznego wynika, że funkcja jest określona tylko dla wartości:
Z drugiej strony sumę zbieżnego szeregu geometrycznego o ilorazie możemy zapisać jako
która jest określona dla wszystkich liczb zespolonych oprócz liczby 1:
Na obszarze obie funkcje są sobie równe, więc funkcję możemy traktować jako przedłużenie analityczne funkcji na obszar .
Wyniki uzyskiwane za pomocą funkcji teoretycznie umożliwiają obliczenie wartości szeregów rozbieżnych, np.:
W takich przypadkach problemem jest odpowiednia interpretacja wyników.
Zobacz też szereg 1 + 2 + 4 + 8 + … szereg Grandiego
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Analytic continuation , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23]. Analytic continuation into a domain of a function given on part of the boundary , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
Kategoria:Analiza zespolona Kategoria:Topologia algebraiczna Kategoria:Metody sumowania