Motywacja Jako pierwszy przykład rozważmy przestrzeń euklidesową z bazą standardową i standardową metryką w której baza standardowa jest ortonormalna. Dla dwóch pól stycznych określamy standardowe połączenie euklidesowe wzorem:
Łatwo sprawdzić bezpośrednio, że określone powyżej przekształcenie jest połączeniem afinicznym oraz spełnia warunki 1 i 2 na połączenie Levi-Civity.
W drugiej kolejności rozważmy gładką podrozmaitość z metryką dziedziczoną z otaczającej przestrzeni Połączenie afiniczne na można łatwo określić, korzystając z – dla pól stycznych na możemy mianowicie dobrać dowolne przedłużenia do pól stycznych na i zadać
gdzie jest rzutem ortogonalnym na przestrzeń styczną do Łatwo się przekonać, że określenie nie zależy od dokonanego wyboru przedłużeń. Nietrudno też sprawdzić, że jest to połączenie Levi-Civity.
Korzystając z twierdzenia Nasha o zanurzeniu izometrycznym, powyższą konstrukcję można wykorzystać do zadania połączenia Levi-Civity na dowolnej rozmaitości riemannowskiej, bez formułowania aksjomatów 1 i 2. Pozostaje jednak problem jednoznaczności (należy wykluczyć sytuację, gdy dwa zanurzenia izometryczne dają różne koneksje) i problem praktycznego opisu koneksji Levi-Civity.