Postać tensora metrycznego implikuje bowiem równania linii geodezyjnych w danej rozmaitości.
Przestrzeń euklidesowa W przestrzeni euklidesowej liniami geodezyjnymi są proste euklidesowe – przeniesienie równoległe wektora odbywa się wzdłuż linii prostej lub łamanej, złożonej z odcinków prostej i polega na przesuwaniu wektora z zachowaniem jego długości oraz kąta nachylenia do prostej do kolejno pokonywanych odcinków łamanej. Jeżeli przenoszenie odbywa się wzdłuż innej krzywej, np. wzdłuż okręgu, to trzeba krzywą przybliżyć łamaną o bardzo małych odcinkach prostoliniowych – i postępować jak omówiono wyżej.
Dowolna rozmaitość Rozważmy dowolną rozmaitość riemannowską (np. na powierzchnię sfery, torus itd.). Geodezyjne pełnią tu tę samą rolę, jak proste na płaszczyźnie euklidesowej czy w przestrzeni euklidesowej, tj. są najkrótszymi liniami, łączącymi dane dwa punkty. Przeniesienie równoległe wzdłuż linii geodezyjnej można opisać w analogii do przeniesienia równoległego wektora na płaszczyźnie euklidesowej.