Brak aksjomatów o elementach przeciwnych dodawania oznacza, że powyższe aksjomaty w zasadzie dotyczą wykładniczych półpierścieni przemiennych..
Problem Tarskiego brzmi: czy istnieją tożsamości zawierające wyłącznie dodawanie, mnożenie oraz potęgowanie, które są prawdziwe dla każdej dodatniej liczby całkowitej, a których nie można dowieść, korzystając jedynie z aksjomatów 1–11?
Przykład twierdzenia możliwego do udowodnienia Powyższe aksjomaty wydają się wyczerpywać wszystkie podstawowe fakty na temat rozważanych działań, dlatego intuicyjnie wydaje się, że dowolne stwierdzenia utworzone tylko za pomocą tych trzech operacji można udowodnić. Zupełnie inną kwestią jest długość dowodu, który nawet przy pozornie prostych twierdzeniach może być długi, jeśli rzeczywiście ograniczymy się wyłącznie do wymienionych jedenastu aksjomatów. Rozważmy następujący dowód, że
Tam, gdzie nie jest to mylące, opuszczamy nawiasy na mocy aksjomatu 2.
Długość dowodu nie jest problematyczna. Dowód podobnej tożsamości tego typu, przykładowo zajmowałby o wiele więcej miejsca, ale nie zawierałby koncepcji innych, niż użyte wyżej.