W Anorthosisie grał do końca 2015 roku.
6 stycznia 2016 Aburdżania trafił do hiszpańskiego klubu Gimnàstic Tarragona, grającego w Segunda División; kwota odstępnego 150 tys. euro. Zadebiutował w nim 31 stycznia 2016 na stadionie Nou Estadi de Tarragona (Tarragona) w zwycięskim 2:1 domowym meczu z CD Tenerife. 1 sierpnia 2016 podpisał kontrakt z hiszpańskim klubem Sevilla FC, kwota odstępnego 1,80 mln euro; skąd wypożyczony był do CD Lugo i FC Twente.
20 września 2020 podpisał kontrakt z Realem Oviedo, umowa do 30 czerwca 2021; bez odstępnego.
Sezon Klub Kraj Rozgrywki Mecze Gole 2010/11 Metalurgi Rustawi Erownuli Liga 3 0 2011/12 Dila Gori 0 0 2012/13 5 1 2013/14 12 0 2013/14 Lokomotiwi Tbilisi Erownuli Liga 2 9 5 2014/15 Anorthosis Famagusta Protathlima A’ Kategorias 30 2 2015/16 12 0 2015/16 Gimnàstic Tarragona Segunda División 16 2 2016/17 Sevilla Atlético 13 0 2017/18 22 0 2018/19 CD Lugo 23 1
Kariera reprezentacyjna Aburżania grał w młodzieżowych reprezentacjach Gruzji na różnych szczeblach wiekowych.