Ciąg

od do nazywa się zagęszczeniem (lub rozdrobnieniem) ciągu jeżeli każdy wyraz ciągu jest również wyrazem ciągu Rozdrobnienie ciągu otrzymuje się więc z poprzez wstawienie dodatkowych grupy między pewne kolejne wyrazy tego ciągu, przy czym nie muszą być one różne od wyrazów Przykładowo jest zagęszczeniem . Jeżeli jednak jest zagęszczeniem i przynajmniej jeden z wyrazów nie jest wyrazem to nazywa się zagęszczeniem właściwym ciągu

Ciąg kompozycyjny Ciąg grupy nazywa się ciągiem kompozycyjnym jeżeli jest on ciągiem właściwym bez zagęszczenia właściwego. Ilorazy ciągu kompozycyjnego nazywa się krótko ilorazami grupy Ciąg

grupy jest ciągiem kompozycyjnym wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ilorazy są prosteNiech dany ciąg będzie ciągiem kompozycyjnym Z definicji jest to ciąg właściwy. Dlatego i wszystkie ilorazy są różne od grupy trywialnej Jeśli jeden z ilorazów, np. nie byłby prosty, to miałoby nietrywialną właściwą podgrupę normalną, którą można zapisać jako gdzie (na podstawie charakteryzacji podgrup grupy ilorazowej). Dlatego (w istocie ) i dany ciąg ma właściwe zagęszczenie uzyskane poprzez wstawienie między a wbrew założeniu, że ciąg jest kompozycyjny. Zatem wszystkie są proste Odwrotnie: niech wszystkie ilorazy będą proste Wtedy są nietrywialne i dla wszystkich Zatem dany ciąg jest właściwy.